Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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L'omografia di due spazi pu6 sempre esprimersi mediante tre
equazioni del tipo qui considerato.
Spazi correlativi.
~ 83. Fra gli elementi di uno spazio di punti (S) e di uno spazio
di piani (Z) si pu6 stabilire una corrispondenza, ponendo tra le
coordinate x y z di un punto di (S) e quelle u' v' w' di un piano
di (Z) le equazioni
[1] u ax + biy + c1z + dl v ax -... w -a3x +...
ax +by+cz+d -- ax -...' axC+...
le quali, se il determinante [a bi c d,] non e nullo, equivalgono
alle seguenti:
[J Au' + A2v' + A3w' + A B ' +... Cu' +...
Dlu' + D2v' + D3w' + D ' - D1u' + D...' - Du' +...
Da queste equazioni concludiamo:
Siano dati cinque punti di uno spazio (S) di punti, in modo che
non siano quattro di essi in un piano; e scelgansi come corrispondenti in uno spazio (Z) di piani cinque piani, di cui non siano
quattro di una stella. Sara allora determinata tra i punti di (S) e
i piani di (X) una corrispondenza univoca tale, che ad ogni punteggiata di (S) corrisponda un fascio projettivo di piani in (X). Ai
punti in un piano di (S) corrisponderanno i piani per un punto
di (Z); il che stabilisce una corrispondenza univoca fra' piani di
(S) e i punti di (E), dotata delle stesse proprieth che la corrispondenza considerata fra' piani di (E) e i punti di (S). Inoltre, alle rette
per un punto (o in un piano) di (S) corrisponderanno le rette nel
piano (o pel punto) corrispondente di (:); a un fascio di rette in (S)
corrispondera un fascio projettivo di rette in (Z); ecc. Insomma:
ad ogni forma di 1a o 2a specie contenuta nell'uno spazio corrisponder& nell'altro una forma reciproca di quella. Due spazi corrispondentisi in questo modo diconsi reciproci o correlativi, e la
corrispondenza che li lega dicesi reciprocitU o correlazione.
Una tale corrispondenza pu6 sempre tradursi in equazioni del
tipo [1] o [1'].