Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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tengono a una stella, se
u v w 1
ur V W 1
U" v"r W" 1
Facendo variare il primo piano, mentre gli altri tre rimangono
fissi, questa e l'equazione del punto comune ai tre piani.
Se i quattro piani non sono di una stella, le coordinate di un
piano qualunque dello spazio potranno scriversi
X+~+ + ' X~p+v+ + pV' + vv' + sv"W'X+ $ y+.vs +: s"'
X U + t u + vu + + + v" + X + WV' + vvv Xw + w' + VW"+ T
e si potranno assumere i numeri X g v iT come coordinate omogenee
del piano riferito ai quattro dati.
L'equazione lineare in coordinate di piani u v w
au - byv + cw + d = 0
determina il punto di coordinate cartesiane a d ), ossia e
l'equazione di questo punto.
Se fra le u v w passa una data equazione soddisfatta da una serie
continua (doppiamente infinita) di piani, questi costituiscono un
inviluppo. E se si hanno due equazioni soddisfatte da una serie
continua di piani, questi costituiscono una sviluppabile. Gl'inviluppi e le sviluppabili dinno di nuovo origine a quelle serie di
punti che chiamammo superficie e curve; ma qui non possiamo
addentrarci in tali argomenti.
Tre equazioni fra le u v w in generale determinano per u v w
un gruppo discreto di terne di valori reali o immaginarl, e quindi
un gruppo discreto di piani reali o imnmaginari.
~ 82. Ponendo fra le coordinate u v w e u' v' w' di due elementi
di due spazi di piani equazioni analoghe alle [1] ~ 79, concludiamo:
Dati nell'uno spazio cinque piani di cui non quattro di una
stella, seelti nell'altro spazio come corrispondenti cinque piani
di cui non quattro di una stella, e posto che a piani di un fascio
corrispondano piani di un fascio ed omograficamente; allora a ogni
forma di la e 2a specie ne corrispondera una omonima e omografica,
e quindi i due spazi saranno omografici.