Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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equazione di 4o grado in t, dalla quale si ricaveranno in generale
quattro valori per t, ciascuno dei quali, sostituito in tre delle dette
equazioni lineari, far' si che la loro risoluzione dia le coordinate
di un punto unito. Vi sono dunque in generale quattro punti uniti.
I piani che li congiungono a tre a tre saranno i quattro piani
uniti.
ESERCIZIO 1. Se l'equazione [3] ha una radice doppia o tripla o quadrupla, accadra
in generale che due o tre o quattro punti uniti vengano a coincidere.
Es. 2. Pero se vi e un valore di t per cui s'annulli non solo il determinante [3],
ma anche i suoi suddeterminanti di 30 ordine (e non tutti quelli del 20 ordine); allora, sostituendo quel valore nelle [2], esse si ridurranno non piu a tre, ma a due
sole equazioni lineari indipendenti in x y z; e queste equazioni individueranno cosi
una retta r tutta composta di punti uniti. Qael valore di t sara radice doppia
della [3]; le altre due radici corrisponderanno a due punti uniti non posti su r'
Dicendo s la retta congiungente questi due punti, e chiaro che tutti i piani passanti per s si potranno riguardare come congiungenti tre punti uniti, e quindi sasanno piani uniti. Ne segue che l'omografia godra di questa proprieta particolare:
che la congiungente di due punti corrispondenti qualunque taglia una retta fissa s.
Es. 3. Se vi sono due valori di t che annullino tutti i suddeterminanti di 30 ordine del determinante [3], essi saranno radici doppie di quell'equazione; e sostituiti
in due delle equazioni lineari [2], determineranno due rette r s, ciascuna delle quali
conterra infiniti punti uniti e sara l'intersezione di infiniti piani uniti. La corrispondenza omografica sara in tal caso determinata dalle condizioni: che la congiungente
due punti corrispondenti qualunque tagli r e s, e che i due punti d'incontro formino
con quelli un doppio rapporto fisso.
Es. 4. Se vi e un valore di t che annulli tutti i suddeterminanti di 20 ordine
del determinante [3] (e quindi anche quelli di 3~ ordine), esso sara radice tripla
dell'equazione [3]; e sostituito nelle equazioni lineari [2], le ridurrha tutte equivalenti
ad una sola di esse, la quale rappresentera dunque un piano y tutto composto di
punti uniti. All'altra radice della [3] corrispondera un altro punto unito C posto
fuori di quel piano; ed e chiaro che tutti i piani passanti per C saranno piani uniti.
L'omografia sara determinata dalle condizioni: che i piani corrispondenti si taglino
su y, e che le coppie di punti corrispondenti stiano in linee rette passanti per C.
e quindi che il doppio rapporto di due punti corrispondenti qualunque con C e col
punto in cui la loro congiungente incontra y, abbia un valore costante dato.
Questo caso particolare assai importante dell'omografia dicesi omologia: C dicesi
centro e y piano d'omologia.
Es. 5. Se in un'omologia il piano d'omologia e all'infinito, i piani corrispondenti
sono paralleli, e la corrispondenza a definita da ci6: che due punti corrispondenti
qualunque sono in linea retta con un centro fisso, ed hanno da questo distanze le quali
serbano un rapporto fisso dato. Tale corrispondenza dicesi omotetia. E chiaro che
il rapporto delle lunghezze di due segmenti corrispondenti qualunque e pure costante
ed uguale al detto dato rapporto.

E. D'OvIDIo - Forme geometriche, fondamentali.

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