Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

-160 -La corrispondenza tra i punti P e P' e univoca.
Ai punti P di un piano di (S) corrispondono in (S') i punti P di un
piano; ai punti P comuni a due piani, cioe appartenenti a una
retta, corrispondono i punti P' di una retta; a piani o rette di un
fascio o di una stella nell'uno spazio corrispondono piani o rette
di un fascio o di una stella nell'altro spazio. Due quaterne di punti
corrispondenti di due punteggiate corrispondenti hanno egual
doppio rapporto, come anche due quaterne di rette o di piani corrispondenti di due fasci corrispondenti. Insomma: ciascuna forma di
la o 2a specie contenuta nell'uno spazio 6 omografica alla forma
corrispondente nell'altro spazio.
Dati nell'uno spazio cinque punti di cui non quattro in un piano,
e nell'altro scelti come corrispondenti cinque punti di cui non
quattro in un piano; posto inoltre che ad ogni punteggiata corrisponda una punteggiata omografica; la corrispondenza tra i due
spazi godrh di tutte le proprieta teste accennate, e sara rappresentata analiticamente da tre equazioni del tipo delle [11 ed affatto
determinate tra le coordinate di due punti corrispondenti. I due
spazi si diranno omografici o collineari, od anche projettivi.
A una superficie di grado n corrisponderh punto per punto una
superficie di grado n, ecc.
PoichB i due spazi omografici sono di lor natura sovrapposti, si
possono sempre cercare quei punti che coincidono coi loro corrispondenti, cioe i punti uniti. Supponendo i punti dei due spazi
riferiti a una stessa terna di assi, un punto (x y z) sarh punto
unito, se verificherh le equazioni [1] in cui in luogo di x' yrz' si
ponga x y z, cioe se verificher le equazioni
tx - alx -1- by -{- cz -- d,
ty a2x + by +- cz + d1,
[2]
tz ax + b3y -+ cz + d3,
t- ax + by - cz + d.
Queste quattro equazioni lineari in x y z danno
a, - t b d1
a- b, — t c d 0
[3] c =0;
a,, b3 C — t d
a b c d -t