Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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non appartengono ad una stella, ossia non hanno un punto comune,
se non quando si verifica la condizione
[a b' c" d"'] - 0.
Se i quattro piani non appartengono a una stella, una combinazione lineare delle loro equazioni, cio6
X(ax -+...) + g(a' +-...) + v(a"+x +...) + T(a"'x -...) O,
al variare dei rapporti di tre delle quantita X g v T alla rimanente,
pu6 rappresentare tutti i piani dello spazio. Poich&, ordinata quest'equazione rispetto a x y z, noi possiamo identificarla con quella
di un piano arbitrario a1x +.. =0, stabilendo le seguenti proporzioni
aX +- a't + a" v + a"'Tr bX + b't + b"v + bT'it
ai bl
ck - c'g + cI'v + c"'n X +- C' + dc"v + d"'"
C1 d
le quali si riducono a tre equazioni lineari nei tre rapporti suddetti,
e servono quindi a determinarli.
Equazione normale del piano.
~ 76. Sulla normale n condotta per l'origine 0 ad un piano TT
scegliamo la direzione positiva da 0 verso il piano; e chiamiamo a Ty
gli angoli di tale direzione con gli assi, p la distanza ON fra
l'origine e il piano. Indicando con p q r i segmenti che il piano
stacca dai tre assi, avremo p =pcosa, p - qcosP, p rcosT, ovvero
1 cosa 1 cos 1 cosy
p p ' q p ' r p
onde l'equazione del piano, che e (~ 71)
x =1r
P 'q r