Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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equazioni soddisfa pure la rimanente; e per6 la retta comune a due
piani sta sul rimanente, ossia i tre piani appartengono a un fascio.
11 criterio analitico, perche i tre piani T1 TT' T" appartengano a un
fascio, consiste dunque nell'annullarsi del determinante [a b' c'] e di
un altro determinante di 30 ordine della matrice (*)
a b c d
a' b' c' d'
a" br" e" dc'
e quindi degli altri due.
Del resto, lo stesso risulta dall'osservare che, nel caso in cui i tre
piani formino fascio, l'equazione di uno di essi deve ridursi ad una
combinazione lineare di quelle degli altri due.
Caso piu particolare ancora 6 quello, in cui ogni terna di valori
di x y z soddisfacente una delle tre equazioni soddisfa le altre due.
Allora i tre piani coincidono, e i coefficienti omologhi delle tre equazioni sono proporzionali.
Se i tre piani T TT1 Tr" hanno un sol punto comune, e chiaro che
una combinazione lineare delle loro equazioni, cioe
X(ax +...)+ (ax +...) + v(a"x +...) = o,
rappresenta un piano che passa pel punto comune ai tre dati piani;
e, variando i due rapporti X: v,: v, pu6 rappresentare i singoli
piani della stella.
Fra questi si pu6 cercare: quello che passa per una retta individuata sia da due punti sia da due piani; quello che b parallelo a
un piano dato, ecc.
~ 75. Quattro piani TT T' Tr TT""', le cui equazioni siano
ax+... O, a'x +... 0, a"x... = 0, a"'...= 0,
(*) Se il determinante che si annulla insieme con [a b' c"] e p. e. [a b' d'], ci
vuole questa restrizione: che non siano nulli i determinanti di 20 ordine della maa a' a"
trice b' b, dal che seguirebbe che [a b' c"] e [a b' d"] sono nulli, ma non
[a-c' d"] e [b c' d"] in generale.