Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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L'equazione generale [1] non dipende da' quattro coefficienti
a b c d, ma dai rapporti di tre di essi al rimanente. Quindi un
piano pu6 essere assoggettato a condizioni tali, che possano tradursi
in non piu di tre equazioni fra' rapporti di tre coefficienti al rimanente, ossia in tre equazioni omogenee nei quattro coefficienti.
I1 piano avente per equazione la [1] ha comune col piano xy una
retta; pei punti della quale z -, e quindi ax +- by - d - 0.
E la equazione
ax - by + d = 0
rappresenta il piano passante per quella retta e parallelo all'asse z,
poiche essa non con'tiene la z (o anche perche per questa equazione r riesce infinito).
Analogamente per le equazioni ax - cz + d = 0, by + cz +- d = 0.
L'equazione ax + d = 0 rappresenta un piano parallelo a yz. E
cosi via.
Se nell'equazione [1] manca il termine noto d, il piano passa per
l'origine.
Se un piano passa per un punto dato (x, yi z), la sua equazione
pu6 ricevere la forma
a(x - x1) + b(y - y,) + c(z - z,)= 0;
e variando i coefficienti a b c, o meglio i rapporti di due di essi
al rimanente, questa equazione pu6 rappresentare i singoli piani
pel punto (x, y1 z), i quali formano una stella.
Se nella [l]'i coefficienti a b c decrescono indefinitamente mentre
4 resta finito, i segmenti p q r crescono indefinitamente, cioe tre
(non in linea retta) e quindi tutti i punti del piano vanno a distanza infinita. Ci6 si esprime dicendo che, per a b c nulli, la [1i e
1'equazione del piano all'infinito.
Fascio di piani.
~ 72. I punti della retta comune a due piani TT T' di equazioni
ax j by + cz + d =, ax, + b'y + c'z + d'- 0,