Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

-144 -

su x e su y, risulta
x psenO coscp, y -- psenO sencp.
Proiettando poi OP su z, si ha
= pcose.
Cosi si esprimono x y z in p 0 cp. Viceversa:
tgzcp y
p / — V 2 x+ Z2 +, osO- 2 + y + Z 7'
Equazioni di luoghi (superficie e linee).
~ 70. Fra le tre coordinate di un punto dello spazio, p. e. fra
le coordinate cartesiane x y z, pongasi una equazione. Ogni coppia
di valori reali di x e y individua un punto nel piano xy. Supponiamo che, per quelle coppie che individuano punti di una data
porzione del piano, l'equazione determini uno o piai valori per z,
e quindi un punto o un gruppo di punti discreti. Se, variando x
e y con continuith, anche i detti valori di z variano con continuita,
noi avremo altrettante serie doppie continue di punti, le quali formeranno una o piu superficie; e queste costituiranno il luogo dei
punti, le cui coordinate soddisfanno la data equazione.
Viceversa: se i punti di una o piu superficie, e solo essi, verificano una condizione, che possa venir tradotta in una equazione
fra le tre coordinate di un punto; questa e l'equazione del luogo
di quei punti.
Se nell'equazione non figura una coordipata, p. e. z; allora nel
piano xy i punti soddisfacenti all'equazione formano una linea; e
z essendo libera, tutti i punti di quelle rette che sono parallele all'asse z e si appoggiano alla detta linea formeranno il luogo.
Questo e dunque un cilindro, con le generatrici parallele all'asse z.
Se neli'equazione entra una sola coordinata, p. e. x; allora essa
determina un gruppo di valori di x, e quindi il luogo si compone
di un gruppo di piani paralleli al piano yz.