Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Dicendo E il modulo della sostituzione, si ha
a1 b c1
E - a2 b2 C =2 — 1,
a3 b3 C3
b2c3 -b3c2 ai....
Es. 5. In generale una sostituzione lineare omogenea
Xr - a,1y1 + ar^y2 +... + a-,ay, (per r - 1, 2,... n)
dicesi ortogonale, se in virtu di essa si ha identicamente
Xi2 + X2 +.. + x, - = yi2 + y2 +. + X2.
Allora si hanno le relazioni
alr2 + a2r2 + a =, airals + a Ias + + = 1, a a2ra 0 (s r'),
y2, arxi + at.x2 +.. + a, +
al. + ar-^2 +.. + 2 -, + arasi + ar2as +... n + arnasn =,
al1 a~ ln
modulo =... = 1,
anl a,nn
a -l, r +1. ar + l, n ai. air......, ecc.
an,, - l. Ctn, n Ctri. aCrr
Es. 6. II determinante o modulo della sostituzione [2] equivale a
senXYZ senx'y'z'
cosxx' cosyy' coszz' I
e poiche il denominatore equivale a senxyzsenxry'z', il detto modulo si riduce a
senXYZ
senxyz
~ 69. Siano x y z tre assi ortogonali; e consideriamo il sistema
polare che ha l'origine 0 per polo, la z per asse, e xz per piano
polare. Se xy z e p 0 cp sono le coordinate cartesiane e le coordinate polari di uno stesso punto P riferito a quei tre assi ed a quel
sistema polare, projettando normalmente OP sul piano xy in OF, si
ha OF = OPsenO; e quindi eguagliando le projezioni di OP e OF