Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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esso viene a coincidere con XYZ. In questo caso la sostituzione dipence da tre parametri, quali sarebbero gli angoli del piano xy coi due xX yX e l'angolo di xX
con XY.
Es. 2. Quando si passa da assi ortogonali ad assi ortogonali con la stessa origine;
detta xi la retta dei piani xy XY, si possono assumere come parametri della sostituzione i tre angoli qp - xx,, tp- Xxs1, zZ. Allora i triedri xXx,, xYxi,...
forniscono i nove coseni cosXx, cosYx,... in funzione ci qp p 0; e sostituendo, si ottengono le formole di Eslero:
x = X(cosOsenpseny +- coscpcosp) + Y(cosOsencpcosp - coscpsen-) + ZsenO senqp.
y = X(cosO coscpsenW - sen(p cosy) + Y(cose cosqp cosqJ + sencp senp) + ZsenO coscp,
- - Xsen sen - - YsenO cosW + Zcos9.
Alle stesse si perviene passando dagli assi x y z a xi y, z, essendo nel piano xy
y, la normale a xi; poi da questi agli assi xi Y1 Z, essendo Y1 normale a xi nel
piano XY; ed infine agli assi X Y Z; pei quali tre passaggi servono le formole del
~ 32 (prima delie [5] ).
Es. 3. La sostituzione [2] trasforma la nota funzione
x2 + yS + za + 2xycosxy + 2xzcosxz + 2yzcosyz
nell'analoga
X2 + Y2 +. Z' + 2XYcosXY + 2XZcosXZ + 2YZcosYZ.
E la sostituzione [3] trasforma
x2 + y + 4Z in Xl2 + y + Z2.
Es. 4. Dicesi ortogonale una sostituzione lineare omogenea
x = alX + b4 Y + csZ, y a2X + b2Y + c2Z, z = a3X + b3Y + c3Z,
se trasforma xz 4 y2 + Z2 in X + Y 2 ~ Z'.
Fra' 9 coefficienti passano molte relazioni. P. es.:
al2- a- + a3 = 1, bil + b + b3' = 1, c12 + C + C= 1,
abi + + ab + 3b3 = O, ac4 + a2c2 +- a3c3 = O, bici + b22 4- b3c3 = 0.
Da queste si ricava la sostituzione inversa
X = aI + ax 2Y + a3g-, Y = blx + b2Y + b3z, Z = cIx + C2y + C3;
dalla quale si hanno le relazioni analoghe
a, + b12 +c4,- c = 1 a + C22 = 1, c32 + b32 + C35 =-1,
aa2 + bb2. + C12 - 0, ala3 + blb3 +- cic3 - 0, a23 -' b2b3 +4- C2=