Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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E ovvio il caso che cosi i primitivi come i nuovi assi siano ortogonali. Allora x' y' z' coincidono con x y z, e le [2] divengono
x = XcosXxs YcosYxs ZcosZx,
[3] y X cosXy 4- YcosYy - ZcosZy,
cosz X YosYz Y ZoszZz.
Fra i nove coseni che qui entrano passano molte relazioni. Infatti, riferendo ciascuna delle X Y Z ai tre assi ortogonali x y z, si
ha (~ 64)
cosXx - cos Xy - cos2Xz = 1,
cos'2x 4- cos2Yy - cos'Yz = 1,
cos~Zx -- cos2Zy - cos~Zz =- 1;
ed essendo le X Y Z mutuamelte ortogonali, si ha
cosYx cosZx +- cosYy cosZy cosYz cosZz - 0,
cosZx cosXx + cosZy cosXy + cosZz cosXz 0,
cosXx cosYx + cosXy cosYy + cosXz cosYz = 0.
Del pari, riferendo ciascuna delle x y z agli assi ortogonali X Y Z,
si ha
cos'xX + cos'xY - cosIxZ = 1,
cos yX -- cosyY - cos yZ = 1,
cos2zX + coszY +- cos2Z Z 1;
ed essendo le x y z mutuamente ortogonali, si ha
cosyX coszX +- cosyY coszY +- cosyZ coszZ - 0,
coszX cosxX - coszY cosxY +- coszZ cosxZ - 0,
cosxX cosyX - cosxY cosyY + cosxZ cosyZ _ 0.
E chiaro che, di queste 12 relazioni, le prime 6 esprimono tutte
le condizioni imposte e sono indipendenti; mentre le altre sono
conseguenza di quelle. Avendosi 6 relazioni indipendenti fra i 9
coseni, la sostituzione [3] dipende solo da 3 parametri.
ESERCIZIO 1. Se l'origine non si cambia e i triedri xyz XYZ sono eguali (congruenti), anche senza essere trirettangoli; allora i piani rispettivamente perpendicolari ai piani degli angoli xX yY zZ lungo le bisettrici di questi angoli hanno comune una retta; intorno alla quale facendo rotare il triedro xyz ci un certo angolo,