Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

- 140 -Siano invece x y z e X Y Z due terne di assi aventi la stessa ori

I\ /
\~ I,,
I',.'
I - y '
/ / ":-I,.
y/, / \ x
~Y /./ \

gine 0; e le coordinate di un punto P
siano x y z rispetto alla prima terna,
X YZ rispetto alla seconda. Tracciate
le due spezzate OAFP OA'F'P, che
hanno i lati misurati rispettivamente
dalle coordinate x y z e X Y Z; sappiamo che le projezioni normali delle
due spezzate su una retta qualunque
sono eguali. Se x y' z' sono le normali
per 0 ai piani yz zx xy, projettando su
esse avremo

xcosxx' =-XcosXx' - YcosYx' + ZcosZx',
|:2] zcosyy' = XcosXz' -- YcosYz' + ZcosZy'
ZCOSzz' XcOSXz + YCOSYz +- ZCOSZz';
le quali equazioni costituiscono la sostituzione atta ad esprimere
x y z mediante X YZ (*).
Che se la 2a terna di assi qui considerata avesse invece per origine il punto (a b c), basterebbe nei secondi membri delle 1-2] aggiungere a b c; come provano le [11.
Le sostituzioni ora trovate pel passaggio da un sistema di
coordinate cartesiane ad un altro, sono lineari; e per6 mediante
esse ogni funzione di x y z si trasforma in una funzione di X Y Z,
di forma in generale diversa dalla prima; ma (come al ~ 32) e
chiaro che, se la prima funzione e di un certo grado in x y z, la
seconda sara dello stesso grado in X Y Z.
I nove coefficienti di X Y Z nelle equazioni [2] non sono indipendenti; poich/ i tre coefficienti di X, essendo i coseni degli angoli della retta X con le x' y z', sono legati da una relazione
analoga alla [4] ~ 64 applicata a X, e quindi dipendono da due
soli parametri indipendenti; e lo stesso dicasi dei tre coefficienti
di Y e di quelli di Z. Onde la sostituzione [2] dipende da sei parametri arbitrari.
(*) Indicando con E ir Z i piani yz zx xy, nelle [2] invece lei coseni si possono
introdurre de' seni, essendo cosxx' - =senxE, cosXx' = senXE, ecc.