Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

- 138 -
Annullando il volume del tetraedro, si ritrova la condizione
perch. quattro punti stiano in un piano.
I1 volume del tetraedro che ha per vertici l'origine 0 e tre punti
P1 P 3 e espresso da
i jii Zi
OPPP3 -3 -| senxyz x y2 z.
X3 Y3 Z3
Si noti l'analogia della formola che esprime il volume del tetraedro nello spazio punteggiato mediante le coordinate cartesiane
dei vertici, con la formola che esprime l'area del triangolo nel
piano punteggiato mediante le coordinate cartesiane dei vertici (~ 31),
e con la formola che esprime la distanza di due punti in una retta
punteggiata mediante le ascisse dei due punti.
ESERCIZIO 1. Per due terne di rette abe pqr si ha la relazione (Stamdt)
cosap cosaq cosar
senab bcsenpqr = cosbp cosbq cosbr
cosep coscq coscr
Si pub dimostrare supponendo le sei rette passare per l'origine 0 di tre assi ortogonali x y z: allora senabe misura il sestuplo volume del tetraedro che ha un vertice in 0 e gli altri tre vertici sulle a b e a distanza 1 da 0, i quali vertici
avranno per coordinate i coseni celle a b c con gli assi; sicche
cosax cosay cosaz cosp1 cospy cospz
senabe = cosbx cosby cosbz, senp qr cosqx cosqy cosqz
coscx coscy coscZ cosrx cosry cosrz
moltiplicando, ed osservando che
cosax cospx + cosay cospy + cosaz cospz - cosap, ecc.,
si ottiene la relazione enunciata.
Es. 2. L'analogo determinante per due quaterne di rette b nullo. Infatti, quel
determinante di 40 ordine si pub considerare come il prodotto per orizzontali di due
matrici a 4 orizzontali e 3 verticali.