Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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ovvero
senab senbe senca
senap senpy senya
con che il teorena dei seni esposto al ~ 58 rimane dimostrato
anche quando si tien conto dei segni dei vari seni.
Da queste relazioni segue poi
SABC -- SA.SB.SC.senabe.
Cerchiamo ora il volume del tetraedro, date le coordinate dei
vertici P, (xI y1 z), P( (x2 y2 z), P3 (x 3 Ys 3), P4 (x4 y4 z4).
Prendiamo per base del tetraedro il triangolo PiP2P3, e per altezza
la distanza fra il vertice P4 e il piano del triangolo. Questa distanza
e la projezione normale del segmento P1P4 sulla direzione r normale
a quel piano, e quindi vale (~ 65)
(x4 - x1) cosxr -+ (y4 - y1) cosyr +- (z - z) coszr.
Moltiplicandola per P,P,P,, si ha il triplo del volume del tetraedro;
dunque 3 P1P2P3P4 varra
(X4- x)PPP3 cosxr — (y4 -y)PrPP3 cosyr + (z - z1) P1P.P coszr.
Qui sostituendo a P PP3 cosxr,... le loro espressioni trovate nel
~ 66, risulta 6 P1P1P3P4 espresso da
senxyz (x4 - X) (yz2) +y (y4 - 1) (z1x l) + (4 - z1) (IyJl1)|,
ovvero
Xia YJ-,4
P1PP3PgP =- senxyz,3 X3 Z3 1
X4- i Y4 -- Y1 Z4 -- 0
o infine
i Y1.1 1I
Xs2 Y, e 1
P1P2P3y4 — 6 senxyz;
s3 tyJ Z3 1
4 Y4 Z4 1
che e la formola cercata.