Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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ond'6 chiaro che a quelle 12 permutazioni di A B C D che sono della
classe di ABCD corrisponde uno stesso segno, e alle 12 permutazioni dell'altra classe corrisponde il segno opposto.
Questa convenzione mostra che, se un vertice passa da una all'altra banda del piano della faccia opposta, il segno del volume
muta; e se il perimetro di una faccia si percorre in verso opposto,
ancora il segno inuta. Quindi nell'applicare il teorema < la misura
del tetraedro e la terza parte del prodotto delle misure di una
faccia e dell'altezza corrispondente >, noi dobbiamo dare ai due fattori il segno che loro compete, per poter poi porre in relazione,
quando occorra, vari tetraedri.
Siano S A B C i vertici di un tetraedro, a b c le rette cui appartengono gli spigoli SA SB SC, e a' b e' le normali per S ai piani
be ca ab, giusta le convenzioni del ~ 58.
I1 volume del tetraedro SABC e la terza parte del prodotto dell'area del triangolo SAB per la distanza fra C e il piano SAB; ora
quell'area vale SA.SB senab, e quella distanza vale SC cosec';
dunque
SABC - SA.SB.SC senab coscc'.
Analogamente
SBCA -- SB.SC.SA senbc cosaa',
SCAB - 6 SC.SA.SBsencacosbb'.
Ma SABC =SBCA - SCAB; quindi rimane dimostrata altrimenti la
proposizione:
senab cosco' = senbe cosaa' -- senca cosbb',
gia data nel ~ 58. La presente dimostrazione ha il vantaggio di
tener conto anche dei segni dei seni e coseni che figurano nell'enunciato.
La medesima proposizione, applicata al triedro a'b'c', porge
sena'b' cosc'e - senb'd cosa'a = senc'a' cosb'b;
e quindi dividendo membro a membro risulta
senab senbe senca
sena'b' selb'e' senc' a'