Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Area del triangolo.
~ 66. Siano P1(xw yi z1), P2(x y2 z2), P3(x, y3 z3) i vertici di un
triangolo. Projettiamoli secondo x sul piano yz in D1 )3 ]DD. Se x' y' z'
sono le normali per 0 ai piani yz zx xy, e evidente che i due triangoli D1D.D:1 PAP P3 hanno la stessa projezione secondo x sul piano
y'z', cioe la stessa projezione normale su y'z'; onde questa projezione & espressa (~ 54) cosi da DDDcosxx' come da P1P2PScosxr,
se r e la normale al piano P1PP3,; e quindi
)llD D3COSxx' = PP2P3Scosxr.
Ma nel piano yz le coordinate dei vertici del triangolo DDD3 essendo (y, z1), (y2 z2), (y. z3), possiamo applicare la formola del triangolo nel piano punteggiato, ed abbiamo
yj.Z 1
)DB1gD =- - senyz y2 z 1 = (y1z21)senyz (per brevita);
Y3 z3 1
sara dunque
(ylZ,1)senyzcosxxs - 2P1P2P3 cosxr;
e ricordando (~ 58) che senyzcosxx'- senxyz,
2PP 2P3 cosxr - (y1z21) senxyz;
e per analogia
2P2P2P3 cosyr -z= (zx 1) senxyz, 2PLPXP3 coszr = (Gxy, 1) senxyz,
Sostituendo queste espressioni di 2P1P2P3cosxr, 2PPP3cosyr,
2P1PP3Ccoszr nel determinante [4]-~ 64, dopo averne moltiplicata
la 1' orizzontale e la la verticale per 2PP otteniamo
(Y (zx 1) (senxyz '
s^ l12tYZ (y1 Z2 ~) (Z, x2 1) (x~ y~ 1)
sen2xyz
(y, z2 1) 1 COSxy COSxz = 0;
(z1 x2 1) cosyx 1 cosyz
(x1 y 1) coszx coszy 1