Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

- 128 -In questo determinante cosr'r b moltiplicato per senixyz, e quindi
avremo
0 cosr'x cosr'y cosr'z
COSx]r 1 cosxy cosxz
[7] Cosr'r sen xyz -;
cosyr cosyx 1 cosyz
coszr coszx cOSzy 1
equazione che dh il coseno dell'angolo di due rette r r, espresso mediante i coseni dei loro angoli con gli assi.
Onde le due rette sono ortogonali, se e nullo l'ultimo determinante.
Se P(x y z), P'(x' y' z') sono punti di due rette r r' per 0, e se
OP = p, OP' = p'; si ha dalla [6] e dalle [1] applicate alla r',
pp'cosrr' = x(x' + y'cosxy -+ z'cosxz) +- y(x' cosyx + y' + z cosyz)
+ z(x'coszx -- ' COszy 4- Z')
ossia
[8] pp'coslr' - xx' + yy + zz'
+ (y' -- x'y)cosxy + (xz' + x'z)cosxz - (y' +- y'z)cosyz.
Quando gli assi sono ortogonali, le esposte relazioni si semplificano (poiche cosxy = 0,...), e divengono
[1'] pcosxr - x, pcosyr - y, p coszr -,
[3'] p2 -= 2 + y + z2,
[4'] cos2xr -t cos2yr - cos2zr = 1,
[5'] _ p
cosxr cosyr coszr
[7'] cosrr' = cosxr cosxr' - cosyr cosyr' +- coszr coszr',
[8'] pp' cosrr' xx' + yy' -+ zz
Queste relazioni sono di uso frequente. Si aggiunga la seguente:
1 cosrr'
sen2-rr '
cosr'r ]
cosaxr 4- cos2yr cos2zr, cosxrcosxr' + cosyrcosyr'- coszrcoszr'
cosxrrcosxr -- cosyr'cosyr + coszr'coszr, cos2xr' 4 cos2yr +- cos2zr'