Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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cosi, eliminando - m2: n1m, saranno
x-x _X y -y. _ z- zx- x- y - 2 -- z.2
le due condizioni necessarie e sufficienti perche i tre punti P Pi P2
siano in una retta.
E chiaro che in queste condizioni si possono permutare comunque
i tre punti.
Ponendo mn, +- m, =, le formole precedenti dhnno le quattro
equazioni
hxt = m1,x + mix, hy — m2y 1 + my2, z + mz2z.1m + m2i, =m- m n,
lineari omogenee nelle tre quantith k mn m,2; prendendone tre per
volta ed eliminandone queste quantith, otteniamo quattro determinanti nulli, che sono quelli estratti dalla matrice
jx y z 1
X, y1 Zi 1
x2 yi z2 1
sopprimendovi una verticale alla volta. E basta che si annullino due
determinanti, perche si annullino tutti (*). Tali sono sott'altra forma
le condizioni perch6 i tre punti siano in una retta.
~ 62. Sia P(x y z) il baricentro di tre punti P1(x1 y1 zi), P,(X, y2 z2),
P3(X Y3 Z3 ) coi pesi m1 nm n. Seg'ue da quel che abbiamo detto pel
caso di due punti ohe
_ f1Xl + mf2X2 + i3X3 y 12iY + 112Y2 4- +n3y3 1z12 + 12z.2 +' m3g3
nmj + mn2 + m3 m' + n1 i' '11 2 i %- ^122 +- n3
Se i tre punti P. P2 P3 individuano un piano, ad ogni coppia di
valori di mn: m3, m2: m corrisponde un punto P del piano, e vi(*) Purche l'annullarsi di quei due non provenga dall'annullarsi dei suddeterminanti di second'ordine formati colle due verticali che essi hanno comuni.