Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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I1 punto 0 dicesi origine delle coordinate, le rette x y z e i piani
yz zx xy diconsi assi e piani delle coordinate. Quando gli assi (e
quindi anche i piani) sono mutuamente ortogonali, le coordinate si
dicono ortogonali.
Pei punti dei piani yz zx xy e rispettivamente x = 0, y = 0, z 0.
Pei punti di un asse sono nulle le coordinate relative agli altri due
assi. Per l'origine sono nulle tutte tre le coordinate.
Punti di eguale x sono in un piano parallelo a yz, ecc.
I tre piani coordinati dividono lo spazio in otto triedri. Le direzioni positive degli assi determinano quel triedro che contiene i
punti di coordinate tutte positive; nel triedro opposto si trovano i
punti di coordinate tutte negative; e negli altri sei triedri si trovano i punti che hanno due coordinate di un segno e una del segno
opposto. I punti (x, y, z), ( —, -y, -z) sono simmetrici rispetto all'origine; e se gli assi sono ortogonali, i punti (x, y, z), (-x, y, z)
sono simmetrici rispetto al piano yz, e i punti (x, y, z), (x, -y, -z)
rispetto all'asse x; ecc.
I tre piani coordinati e i loro paralleli pel punto P costituiscono
un parallelepipedo, di cui 0 e P sono due vertici opposti, ii vettore
OP e una diagonale, e AB C sono altri tre vertici. Se si projetta
il punto P mediante rette parallele agli assi x y z sui piani yz zx xy
nei punti D E F, questi saranno i riranenti'vertici del parallelepipedo. I punti E F hanno ciascuno due coordinate comuni con P
e la terza nulla.
Le coordinate x y z di P misurano le projezioni OA OB OC del suo
vettore OP sugli assi, fatte parallelamente ai piani coordinati. Esse
misurano anche i lati della spezzata OAFP e (salvo l'ordine) delle
spezzate OBFP OBDP...
~ 60. Noi abbiamo ridotto la determinazione dei punti dello spazio
a quella degli elementi di tre forme di Ia specie, che sono le tre
punteggiate sulle rette x y z, o meglio le tre serie (fasci) di piani
paralleli a yz zx xy. Piu generalmente: se consideriamo tre fasci di
piani i cui assi non concorrano in un punto, per ogni punto dello
spazio passa un piano di ciascun fascio; e scelti ad arbitrio dei sistemi di coordinate per i piani di questi fasci, le coordinate dei
tre piani suddetti faranno da coordinate per il loro unico punto
comune.
11 sisterna delle coordinate polari e il seguente:
Sia 0 un punto fisso (polo), x una retta per esso (asse polare),