Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

-112 -
stesso piano; altrimenti e facile vedere come sia necessario e sufficiente che, secando ciascuna stella con un piano, i due piani riescano omografici. Due stelle in tali condizioni si dicono omografiche (o collineari).
~.56. Due forme di 2S specie prospettive sono evidentemente
omografiche. Se sono due piani, hanno infiniti punti uniti sulla
retta comune; e se sono due stelle, hanno infiniti piani uniti per la
retta che unisce i due centri.
Due piani omnografici distinti 1F e F', aventi una retta di punti
uniti (pel che basta che essi abbiano tre punti uniti), sono prospettivi. Infatti: se AA' BB' sono due coppie qualunque di punti corrispondenti, le rette AB A'B' saranno corrispondenti, e quindi taglieranno in uno stesso punto la retta di punti uniti comune ai due
piani T fi; onde le rette AA' BB' si taglieranno. Poiche adunque
tutte le rette congiungenti coppie di punti corrispondenti dei due
piani si tagliano mutuamente (senza stare evidentemente in uno
stesso piano), esse passeranno per uno stesso punto; sicche quei
due piani omografici saranno sezioni della stella avente questo punto
per centro.
Analogamente si dimostrerebbe che: due stelle omografiche,
aventi un fascio di piani uniti, sono prospettive.
Due forme di 2a specie omografiche, in qualunque loro posizione,
sono projettive. E chiaro che bastera dimostrare questa proposizione per due piani omografici. Siano dunque TT e TT' questi piani.
Dicendo A A' due loro punti corrispondenti qualunque, consideriamo
la stella avente per centro un punto qualunque S della retta AVi
e projettante il piano T'. Questa stella taglierh un piano qualunque
TT1 condotto per A secondo una forma omografica (prospettiva) a rFr
e quindi anche a FE; e i due piani omografici FE e TT, avranno un
punto unito A. Consideriamo in TT una punteggiata qualunque r
passante per A: le corrisponderh nel piano omografico TTF una punteggiata r1 passante per A e prospettiva a quella, cioe sezione di
uno stesso faseio di rette. Sia S. il centro di questo fascio, e conduciamo per r un piano qualunque TT1: la stella di centro S, projetta TT, su TTF secondo un piano, che sara omografico a TT ed avra
comune con questola retta di punti uniti r; onde, come vedemmo,
i due piani rTT e TT saranno prospettivi. In conseguenza, dei piani
TT TT1 TT2 TT essendo due consecutivi qualunque prospettivi, TT' e T saranno projettivi.