Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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ossia
[2'] x' -- Au + Bv + C A',~ + B'v + C'
A"u- +- B"v + C" ' - Ar'u + B"v + C"
Se i due piani coincidono, si pu6 cercare quei punti che stanno
sulle rette corrispondenti, ovvero quelle rette che passano pei punti
corrispondenti. Riferendo punti e rette agli stessi due assi, per due
elementi corrispondenti uniti (x y) e (u' v') dovrh aversi u'x + v'y
+ 1 = 0; ed eliminando da questa equazione le u' v' mediante le [1],
o le x y mediante le [2], risulterh
[3] ax2 + b'y2 + (b + a') xy + (c + a") x (c' + b") y +c" = 0,
[4] Au'2 +5 B'v'2 + (B + A')u'v' + (C + A")u' + (C' + B")v' + C" = 0
Si hanno dunque co punti di un luogo di 20 grado, e co rette di
un inviluppo di 2~ grado.
E notevole il caso in cui
b_-a', c a", c'a - b";
allora ad un punto, sia che si consideri come appartenente a TT,
sia che si consideri come appartenente a TT', corrisponde la stessa
retta risp. in TT' ed in TT; e viceversa.
Un altro caso notevole si ha quando 1'equazione [3] si riduce a
0 = 0, cioe quando
a =b' — c" = 0, b ---a', c — a" c' -— b",
sicche le [11 diventano
by + c x -- c'
cx + c'y ' ex + c'y
Confrontando con ci6 che diventano le [1'], si vede che anche in
questo caso ad ogni punto corrisponde in ambi i modi una stessa
retta; ma questa retta passa sempre per quel punto, e non e altro
che la congiungente di questo al punto fisso ( - ). 11 determinante [ab'c"] e allora nullo, e ad una retta qualunque del piano
corrisponde questo punto fisso, mentre ad una retta passante per
esso corrisponde ogni suo punto.