Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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superficie vengono a tradursi in equazioni tra le coordinate di quei
punti, sicche lo studio delle linee e superficie si riduce allo studio
analitico delle corrispondenti equazioni.
Anche le linee e superficie curve possono venire individuate da
gruppi di numeri, che perci6d iconsi coordinate di esse.
Traccia delle coordinate per lo studio di certe figure si trova gia, benche sotto forma
non evidente, nelle opere degli antichi geometri greci; ma essi non poterono trarne
molto vantaggio, mancando loro il calcolo letterale o algebrico. Acquistato alla
scienza questo utile strumento nel secolo decimosesto (per opera specialmente dei geometri italiani e del francese Viete), poterono i matematici nei secoli seguenti dare
sviluppo al metodo delle coordinate o geometria analitica, che venne a costituire uno
dei metodi piu potenti e pini usati per tutte le ricerche matematiche in generale, e
particolarmente poi per quelle geometriche. La prima opera in cui siano stati esposti
con chiarezza i principii di questo metodo, in guisa da elevarlo al graco di scienza,
fu la Geometria di Descartes (1637); dopo la quale i geometri andarono successivamente adottandolo, abbandonando persino per lungo tempo quello piil usato dagli
antichi e che pure presentava i suoi vantaggi, cioe il metodo sintetico. Cosi la geometria analitica deve molti dei progressi che essa fece dopo Descartes, a Newton,
MLac-Laurin, Clairaut, Euler, Lambert, Lagrange, Monge, e nel secolo presente a
Gergonne, Lame, Bobillier, Mobius, Plicker, Chasles, Jacobi, Hesse, Cayley,
Salmon, Clebsch, Cremona, ecc., ecc. II metodo delle coordinate poi congiunto col
calcolo infinitesimale, che venne pure a comporsi in scienza nel secolo decimosettimo,
diede luogo ad un ramo importante della geometria analitica; il quale, insieme collo
stesso calcolo infinitesimale, trae la sua origine dai problemi celebri della determinazione delle tangenti, delle aree e delle lunghezze delle curve, e poi si svolse per
opera specialmente di Newton e Leibnitz, del Bernoulli, di Mac-Laurin, Euler,
Monge, Meusnier, Dupin, Cauchy, Gauss, Kummer, Beltrami ed altri.
I1 concetto di coordinate vedremo essersi esteso altresi al caso, in cui ciascun ente di
una serie continua qualunque di enti geometrici non sia individuato dai valori di
certe quantita, ne li individui, ma solo li determini e ne sia determinato in un numero (finito od infinito) di modi formanti un sistema discontinuo.
La considerazione delle diverse forme geometriche fondamentali e dovuta a Steiner
(Systematische Entwickelung, 1832; Gesammelte Werke, t. I, pag. 229). Essa e
importantissima nella geometria moderna: non solo in quanto ogni figura geometrica
si pub considerare come appartenente ad una o piu di quelle forme fondamentali;
ma anche perche queste si possono considerare come le figure pitx semplici, da cui,
legandole coll'omografia o colla correlazione, si possono ottenere con metodo uniforme
gran parte delle figure piit complicate, come linee curve, superficie, ecc.
Alla considerazione di tali forme e intimamente legato lo sviluppo della geometria
projettiva, cioe della scienza che studia quelle proprieta che non cessano di valere
quando a date figure si sostituiscano loro projezioni (proprieta projettive delle figure).
Questa scienza, di cui gia si avevano vari teoremi, si formo nella prima meta di questo
secolo per opera principalmente di Poncelet, Mobius, Steiner, Chasles, Staudt; ed