Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

- 99-,del piano TT avrebbero comune un punto singolare, corrispondente
a tutti i punti di Tr'; poiche le equazioni [1], facendone sparire i
denominatori, rappresentano per ogni punto dato (x' y'j due rette
di TT che si taglierebbero precisamente in quel punto singolare. Perb,
siccome in tal caso si possono determinare due numeri X y tali che
\(ax- +...) +- y(a'x +...) s'identifichi con a"x +...; cosi quelle
due rette, la cui intersezione determina il punto corrispondente a
(x' y'), coincideranno se
Xx' + Jy' - 1,
vale a dire se il punto (x' y') si prende sulla retta del piano r' rappresentata da questa equazione. Ad ogni punto di questa retta sin'golare corrisponde dunque non solo il punto singolare di TT, ma
tutti i punti di una retta passante per questo; retta che varia col
-variare del punto (x' y') sulla retta singolare, e che descrive in tal
modo un fascio omografico a questa punteggiata. Si vede poi facilmente che ad una retta qualunque di TT corrisponde sempre la
retta singolare in FrT; ma se quella passa pel punto singolare, allora le corrispondono nel piano Tr' infinite rette formanti fascio colla
retta singolare.
~ 48. I due piani omografici rr e TTr possono essere distinti od
anche sovrapposti. In quest'ultimo caso si possono cercare i punti
che nell'omografia corrispondono a se stessi, cio6 i punti uniti
(doppi, tautologi). Riferiti i due piani sovrapposti agli stessi assi
cartesiani, dovremo porre nelle [1] x = x, y' - y. Se introduciamo
nun'incognita ausiliaria t ponendo
a"x + b"y + c" - t,
abbiamo ax -- by + c = tx
a' x - bVy + c' -ty,
ovvero
a- t)x +by +c =O
[3] a'x + (b' t)-y + c' 0
a'x - b'y + (C" - t) - 0.,Queste tre equazioni lineari in x y coesistono se
a-t b c
[43 a' b' -t c' -0
a" b" c" - t