Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

- 98 -di iqueste in guisa che a A B C D corrispondano A' B' C' Dr, perche:siano soddisfatte tutte le altre condizioni.
Scelte come assi coordinati rette corrispondenti, le equazioni si
tiducono alla forma
X mx ny
ax + by + c ' ax + by + c
Le rette all'infinito dei due piani si corrispondono se nelle [11
a" = 0 e b" = 0. Allora su due rette corrispondenti qualunque si
hanno punteggiate omografiche coi punti all'infinito corrispondenti,
cioe punteggiate simili. E la corrispondenza fra' due piani dicesi
afflnitd. Le equazioni dell'affinita si riducono a una sostituzione
lineare
x' -- ax + by + c, y' a'x + b'y - c';
e l'affiniti e determinata, quando a tre dati punti dell'un piano si
assegnano come corrispondenti tre dati punti dell'altro, con la condizione che i punti di ciascuna terna non siano in una retta.
Scegliendo come assi coordinati rette corrispondenti, la sostituzione diviene
x' -mx, y ny.
Se Po P1 PS sono tre punti dell'un piano e Pro P'I P' i corrispondenti, abbiamo (dicendo w w' gli angoli dei due sistemi di assi)
x'o y' 1 X o Y 1
PO 'PrP '- 1 senw' x'1 y 1 -2 senw' x1 y 1 mn
x' y2 1 x2 y2 1
senw
=s- nMn. PoP P;
senw i
sicche nell'affinita e costante il rapporto fra le aree di due triangoli corrispondenti.
Se inoltre m- n, si ha x': x = y': y - m, e le due figure (ove
sia anche w = w') sono simili, col rapporto di similitudine m per
le distanze e m2 per le aree.
Se = n 1, le figure sono eguali.
Se nell'omografia determinata dalle [1] fosse nullo il determinante
A [abrc"], allora le tre rette
ax + by + c = O, a'x + b'y + c' = O, a"rx - by + c" = O