Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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e dividendo
Ax' ~ A'y' + A" Bx' + B'y' -+B"
[2] Xl = Cx + C~y~ + C y cx + c'y' +c";
le quali equazioni, inverse delle [1], provano che ad ogni punto PI
corrisponde un punto P.
La corrispondenza fra' punti dei due piani e dunque univoca.
A punti di una retta corrispondono punti di una retta; giacche,
se s y verificano un'equazione di 1~ grado
ax + -y + T = 0,
x' e y' verificano, in virtu delle [2], l'equazione di 1~ grado
(aA + PB + TC) x' - (aA' + B' + TC')y' - (aA"-+ B"+ TC) -0,
che pu6 scriversi
[a b c"] x' + [a P c"] y' + [a b' y] 0.
Quindi al punto comune a due rette in TT corrisponde il punto
comune alle due rette corrispondenti a quelle in n'. E alle rette di
un fascio in rr corrispondono univocamente le rette di un fascio
in WT.
In particolare: alle rette ax -- by +- c = O, ax +- b'y +- c' 0,
a"x + b"y +- c" = 0 corrispondono gli assi x' = 0, y' O e la retta
all'infinito in TT'. Ecc.
Il doppio rapporto di quattro rette di un fascio in TT e eguale al
doppio rapporto delle quattro rette corrispondenti in TI. Infatti: se
ax -... -0, a'x +...= 0,
X(ax +...)+ x(ax +...)= -, x'(ax +.) + ''x +.. * = 0
sono le equazioni di quattro rette di un fascio in TT, le equazioni
delle quattro corrispondenti sono
[ab'c"]c, +... 0, [Cab'c'"]x'...,
X[(ab'c")x +...] +- [(a'b'c")x' +...] -o,
X'[(acb''")' +-..+.1- [(a'b'c")x' +...= O;