Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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dove la coppia varia col variare di X: p, e clove (P = 0, P' - O) e (Q - 0, Q' - 0)
sono due coppie di rette corrispncdenti qualunque.
Es. 32. II luogo dei punti d'intersezione delle rette corrispondenti ci due fasci
omografici b una curva di 20 grado. Rappresentando i due fasci come nellEs. prec.,
l'equazione del luogo si ottiene eliminando X: ' tra le due equazioni XP + - Q = 0,
XP' + PQ' 0; essa e dunque PQ' - P'Q = 0, equazione di 20 grado nelle x y.
Quest'equazione mostra come il luogo cercato passi pei centri dei due fasci.
Essa pub anche scriversi
(X1P + PQ) (XP' + 2Q)')- (XPP' + PiQ') (X2P + 2 Q) - o,
qualunque siano le quantita date X,: P,, X2: P2, purche differenti. Dedurne che quel
luogo di 20 grado si pub generare in infiniti modi come luogo dei punti d'intersezione delle rette corrispondenti di due fasci omografici; cioe che le rette, che congiungono due punti fissi di un tal luogo ai singoli suoi punti, formano due fasci
omografici.
Es. 33. Se si prendono per nuovi assi cartesiani due rette di equazioni
ax + by + c = O, a'x + b'y + c' = 0,
dette X Y le nuove coordinate del punto (x y), si ha
ax + by +- c — k Y, a'x + y - c' - k'X,
dove k e k' non dipendono dal punto considerato.
Piani punteggiati omografici.
~ 46. Siano x y coordinate cartesiane di un punto P in un piano
TT, e x' y' coordinate cartesiane di un punto P' in un altro piano TT.
Poniamo fra x y e x' y' le seguenti equazioni:
[1] - - ax + by + c a'x + Vy - c'
L a" cx + b"y + c ~ Y a"x + b"y + c" '
ove a b... sono dati numeri reali.
A ogni coppia di valori di x e y corrisponde merce le [1] una
coppia di valori di x' y', ossia ad ogni punto P un punto P'.
Indicando con A... i suddeterminanti complementari di a...
nel determinante A [ab'c"], e supponendo questo diverso da
zero; dalle [1] si trae
Ax' + A'y' — A"
(aA + a'A' + a"A") x + (bA + b'A' + b"A") y + (cA + c'A' + c"A")
a"-x + b"y + c"
Ax
a"x + b"y + c" '
Bx'+ B'y'+ B "= + y + c' s + c'y' + C" =+ A
a x + b- ffy + cf" ' a"x + b'y + c" '