Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali. Lezioni date nella Regia università di Torino...

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Es. 6. Luogo dei punti, per cui e costante il prodotto celle distanze da due punti
fissi. Ritenute ancora le convenzioni dell'Es. 4 e detto m2 il prodotto dato, il luogo
e una curva di 4~ grado, avente per equazione (x + y - c2)2 - 4c22 = nm4.
Se m < c, esso si compone di due parti
chiuse distinte (ovali di Cassini). Se
m =c, quelle due parti vengono a congiungersi in un punto, che forma un
nodo per il luogo (lemniscatt di Giacomo
Bernoulli). Se m > c, quelle due parti si
confondono in una sola, cioe il luogo si
compone di un'ovale unica. (Nella figura
sono segnati i casi diversi corrispondentemente agli stessi due punti fissi e quindi allo stesso c, ma a valori diversi di nm).
Es. 7. Luogo dei punti, per cui e costante il rapporto delle distanze da due punti
fissi. E un circolo.
Es. 8. Luogo dei punti le cui distanze da un punto fisso e da una retta fissa serbano un rapporto costante. E un'ellisse o un'iperbole, secondoche quel rapporto e
minore o maggiore di 1.
Es. 9. Luogo dei punti equidistanti da un punto fisso e da una retta fissa. E una
curva di 20 grado composta di un ramo aperto (parabola).
Es. 10. Luogo dei punti, le cui distanze da due rette fisse sono uguali o in un
dato rapporto. E una retta; e quando si prescinda dal segno, e una coppia di rette
in armonia con le due rette date.
E anche una retta il luogo de' punti, le cui distanze da rette fisse, moltiplicate
per numeri assegnati, danno una somma costante.
Es. 11. Costruire per punti la curva di equazione polare p = ap (spirale di Archimede).
Es. 12. Lo stesso per p -a emP, dove e e la base dei logaritmi di Nepero (spirale logaritmica).
Es. 13. Lo stesso per pq - a (spirale iperbolica).
Es. 14. Calcolare la distanza fra due rette parallele di date equazioni.
Es. 15. L'angolo di due rette si pub trovare mediante la formola
t ' tgxr - tgxr
1tgr + tgxr' tgxr
sostituendovi le espressioni (~ 36) di tgxr, tgxr'.
Es. 16. L'equazione della retta pei due punti rr' rorQ e
[a'boc1] (ax + by + c) - [ab0c,] (a'x + b'y + c') = 0
ovvero [a1bc'] (aox + boy + Co) - [aobc'] (aix + b1y + c1) = 0.
Es. 17. L'area di un'triangolo, date le coordinate dei vertici, si. plu ottenere anche
calcolando un lato e la sua distanza dal vertice opposto.