Théorie et applications des équipollences, par C. A. Laisant.

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144 ~SECONDE PARTIE. - CHAPITRE IV.

3. Dans un quadrilat~re ABCD, soient I le point de reneontre
des diagonales, M le milieu de la droite j oignant les milieux des
diagonales. En joignant IM et prolongeant cette droite en MO
d'une longuleur d'gale d elle-mdme, on obtient un point 0 qui
jouit des proprid't~s remarquables suivantes
10 Les triangles GAB, GCD ont des aires edquivalentes, et it
en est de mdme de GBC GODA;
20 Le barycentre du triangle GPQ, P et Q e'tant les milieux
des diagon ales, est le medme que celui de laire du quadrilatdre.
En prenant 0 pour origine, on dhitermine les quatre sommets par
les 6quipollenees
A P~O4-(X, B oQ~P,
d'otL se dhiduisent les propri6tis en d6monstration.
4i. Soient ABCD un quadrilat~re inseriptible, Sd, S,, Sb, Sc
les aires des triangles ABC, BCD, CDA, DAB; 0 un point quelconque du plan; a, b, e, d les logugeurs des droites GA, GB,
OC, GD.
Ddmontrer la relation
a2 S, - b2s6-H e2 s,- d2 Sd-~ 0.
BA- C A
On 6crira jD --- x -CB; pui s on 6liminera x par division au moyen
de 1'6quipollence conjugu~e, et l'on rapportera tons les points ~ lorigine arbitraire 0. Le calcul, un pen long peut-6tre, noifre aucune
diffieult6.
11 est visible qne ce th6orime g6n6ral donne de nombreuses proprbit~s particuli~res du quadrilat~re inscriptible.
5. SoientAIAl2A3 A4 Ab un pentagone; Al A' A2,., A5 A' Al,
des triangles d'quilatdraux eonstruits sur les e6te's de ee pentagone. Tracons A' Al, A'1 Al, et proloingeon.s ees lignes en Al A",
Al A"1 de longueurs d'gales d elles-mdines. Si G est le baryeentre
du triangle A' ~' A'~ et K eelui du triangle ~' A'9 A'3, le
triangle A1GK est equilateral.
En posant P- - ), d'oii ),2 I__ -, - - 1,. on trouve l'identit