Théorie et applications des équipollences, par C. A. Laisant.

APPLICATIONS AU TRIANGLE. 10,
et de mme
H,Hb Hi, H Hc Hc C
AB BC CA - 2COs0'~.
Les deux triangles HaHbH,, ABC sont donc directement semblables. Le rapport de similitude est 2 cos 0,
si bien que pour 0 = 60~ les triangles deviennent egaux.
L'aire HbHHc est egale a 4 cos2 0. aireABC.
Soit toujours (95) H le point de rencontre des hauteurs du triangle ABC. Formons l'expression HHa. Nous
aurons
AB
HHa HC - Ha C -- iA- [ i cos C - s0 sin(0 - C)]
( _s 2 -sO- sC-O)
-s-nC 2sin C
E2AB 0+ ~-c 2 O --
sin C \2- 11 i S 2 /
AB ~7r-C-~20-C AB + -c 2 )
-sinC ( 2i - sinC 2z
AB 0 + W-c
= - cos 0. 2
sil C
AB
La longueur de HlHa est done celle de sinC cos, ou
2 r cos 0, c'est-a-dire independante du sommet considere
Ha. I1 s'ensuit que H est le centre du cercle circonscrit
a Ha HbHc.
II est bon de remarquer, par analogie avec le calcul
precedent, que d'une maniere generale l'expression
s? sin(? - a) - sO sin(O - a)
peut prendre la forme
s?(+0-a sin ( - 0),
et qu'en consequence sa grandeur sin(c - 0) est independante de a.