Involuties op rationale krommen ...

79
send~e lijnen- a, /3, c, d slechts e'en transversaal. Blijkbaar
wordt flu de hyperboloide (a, b, d) aangeraakt door de lijn
c; evenzoo moet b3 raken aan de hyperboloide (a, e, d) en
moet a raken aan de hyperboloide (b, e, d). Bestaat e'en
van deze gevallen, dan is de 13 ondubbeizinnig door vier
paren bepaald.
Ten slotte nog de vraag-, hoeveel paren hebben twee
axiale cubisehe involuties gemeen? De assen der vlakkenbundels die de involuties insnijden a en a' zijn dan bekend.
Het regelviak door a is van den vierden graad en wordt
door a' in vier punten A gesneden, waardoor vier lijnen
van regelviak ('a) gaan, die natuurlijk biseate vnK3
zijn. Omdat ze a' ook snijden zijn het rechte van 't regelviak (a'). De beide regelvlakken hebben die vier lijnen
gerneen of m. a. w. de involuties 4mebben v/er paren gemeen.
~ 8. DE 12 OP EEN RATIONALE R3.
Als bijzonder geval der axiale 13 ontstaat de quadratische
involutie, zoodra de as van den vlakkenbundel unisecante
wordt.
Zijn omgekeerd de paren Al, A2 en B1, B2 eener 12 gegeven
en nemtmen p d R3'n willekeurig punt 0 dan gaat
uit 0 maar e'en snijlijn I van A1 A2 en 13, B2, en wel de
snijlijn der vlakken 0 Al A2 en 0 B1 B2. N~u is I de as van
den vlakkenbundel die de 12 doet ontstaan. Alle koorden
P1 P2 rusten op 1. Het involutieregelviak is dus quadratiseh,
want in elk viak van den bundel ligt de lijn I en nog een
lijn P1 P2. Wordt 0 verplaatst dan kan natuurlijk 't regelviak niet veranderen, waaruit wij zien dat de koorden de
beschrijvende lijnen van 't eene stelsel vormen, terwiji de
oneindig velen assen der vlakkenbundels het andere stelsel
voorstellen. De koorden zijn alle bisecanten, de assen unisecanten.
De dubbelpunten der 12 doen twee raaklijnen der R3
ontstaan.