Involuties op rationale krommen ...

7 8
Door de verbindingslijnen van toegevoegde punten wordt
weder een re gelviak p gevormd. De as a is op gelegen,
want zij wordt door alle lijnen P1 P2 g-esneden en zij moet
enkelvoiudz~oe richtlijn zijn, daar door elk punt van de rnirnte
sleehts e'en bisecante kan getrokken worden en dus ook nit
elk punt van a, slechts e'en rechte P1 P2 van p kan gaan.
Wij zien verder, dat in elk viak van den vlakkenbundel
gelegen zijn vier reebten van p, en dat het regelviak derhalve van den 4 e-ngraad is, terwiji. de kromme R3 een dubbelkromme op het regelviak P1 P2 is.
Ofselioon alle eigenschappen der 13 op een recch1e voor
deze op een ruimtekrornme gelegen 13 frhoeten blijven gelden,
wil ik er toch nog een paar rechtstr'eeks aantoonen.
Zoo werd reeds bewezen, dat een 13 bepaald is door e'en
volledige groep en twee paren. Neem ik de groep Al, A2, A3
en de paren B1, B2 en C1, C2 als gegeven aan, dan zijn de
snijpunten der rechten B1, B2 en C1, C2 met 't vlak (A1 A2 A3)
bekend. De lijn door die twee snijpunten is de as a van
den vlakkenbundel, die de 13 zal. insnij den. Door vier paren
is een 13 niet bepaald; want de vier verbindingslijnen A1 A2,
B1 B2 enz. moeten alle de as a snijden, doch zij bepalen de
as niet. Zij hebben immers twee transversalen a en a' (*)
Sleehts wanneer a en a' samenvallen is de 13 bepaald.
Wanneer is dit zoo?
De vier rechten a, b, e, d hebben twee transversalen, die
8 snijpunten doen ontstaan. Lagen echter de vier lijnen
a, b, c, d toevallig op e'en hyperboloYde, dan hadden ze oneindig
veel transversalen en was de 13 in 't geheel niet meer bepaald. Maar het kan ook gebeuren dat de vierde lijn d
raaklij'n is aan de hyperboloYde door de drie andere bepaald,
dus aan de hyperboloide (a, b, c.) Dan hebben de vier krui(*) St.- Vier rechten hebben twece transversalen.
Bew f/sa: Drie rechten a, b, c bepalen een hyperboloYde, welke door de
4e rechte d in twee punten D1 en D2 gesneden wordt. Maar door de punten
Den D2 loopen twee lijnen van het stelsel waartoe a, b en c niet behooren.
Zij snijden de rechten a, b, c en d.