Involuties op rationale krommen ...

49
De bundel keg-eisneden bepaald door de vier grondpunten
D, P, Q, R snijdt C3 in de groepen eener cubisehe involutie J3,
[immers e4en punt X1 op de C3 aangenomen is voldoende
om een exemplaar van den bundel aan te wij'zen, en die
kegeisnede snijdt dan flog de twee punten X2 enX3o
C3 in]. Doch men ziet dat de involutie J3 ook de twee
groepen (A) en (B) bevat en derhalve dezelfde involutie is
als de 13 van uitgang. We namen het punt P geheel naarwillekeur op de C3 aan. Het blijkt hiernit dat elke cubische
invointie 1 op een eubische kromme door oneindig- veel
bundels van keg-eisneden kan worden ingesneden. In den
bundel PDP QR komt voor de ontaarding (D P, QR). Het
deel Q R moet nu drie punten P der C3 bevatten. Die drie
punten P1 P2 P3 vormen het eenige lineaire drietal dat de
13 bevat en de lijn P1 P2 P3 is de gezoebte drievoudige
raaklijn der omhullende 17.
Ten slotte is er nog een derde manier om het bestaan
van een lineaire groep PI P2 P3 bij elke 13 op een C3 aan te
toonen. Alle rechten nit het viak ni. snij den de C3 volgens
een 12 en deze heeft met de bestaande 13steeds & 'n drietal
313 e
gemeen, zooals nit het vorigre hoofdstuk bekend is. En dat
is dan de lineaire groep P der cubisehe involutie 13.
Langs algebraisehen weg~ laat zich ook gemakkelijk aantoonen dat eene 1 en eene 12 steeds e'en drietal gyemeen
hebben. We zagen dat de 12 voor te stellen is door de
3
verguelijking
ao xi x2X3~a, (XIx2 +x2 x3 +XI X3) +a2 (X1 +X2 +X3) +
+a3 ==zo...(I).
Zie vorig hoofdstuk. Op soortgelijke wijze laat zi~ch nu de
eubisehe involutie door twee verg-eliknu van denzelfden
vorm verteg-enwoordigen
boxlX2X3-I-bi(XIX2 X2X3 X3XI)-1
-+b2 (XI + X2 +X3) +b3-z (2)
CO XIX2 X3 + Cl(XIX2 +X2 X3 x3 X1) +
+C2 (X + X2 +X3) +C32=O /