Involuties op rationale krommen ...

45
lijn q', en besehouw de verxvantschap (t' q'). Aan de raaklijn q' zijn toegevoegd (p - i~ raaklijnen q en op elke
raaklijn q liggen (k- 2) (p- i) punten S. Bovendien gaan
door elk punt S (k -3) raaklijnen t', zoodat ten slotte aan
elke raaklijn q' zijn toegevoegd (p - ) 2 (k- 2) (k - 3)
raaklijnen tC. IDe overeenkomst (t', q') is blijkbaar symmetriseh
en zij zal dientengevolge 2 (p - )2 (k- 2) (k 3) coincidenties moeten bezitten. Ret gevoig van het voorkomen
eener eofnecidentie q'- t' is dat het punt S" met liet punt
S samenvalt. Er ontstaat dan een dubbelpunt S —S' der
involutiekcromme. Door het dubbelpunt S —_S' loopen nu
de vier lijnen q t, q'- t', p en p. Maar het is duidelijk
d~at p en p' ook twee coineidenties p t', zullen vertegenwoordigyen. Ret met de cofineidenties q' - t' overeenstemmende aantal dubbelpunten S:: -5' is daarom
=' 1 /2 (p - )2 (k -2) (k -3).
Om het aantal drievozudzfr punten te bepalen, dat de
involutiekromme bezit, redeneeren wij op de volg-ende manier.
Een drievoudig punt zal ontstaan wann eer drie aan elkaar toegevoe gde raaklijnen bijv. p, p' en p"' door e'en punt S gyaan.
Dan is dat punt S natuurlijk drievoudig. We letten op de verwantschap tussehen de raaklijnen t en p"'. De raaklijnen p
en p' bepalen het snijpunt S en de (k- 2) andere raaklijnen
uit S aan de kromme C,1 noem ik /.Valt z~o'n raaklijn/
met een raaklijn p"' samen dan graan drie toegevoeg~de
raaklijnen p, p' en p"' door e'en punt S, dat dan drievoudigwordt. Een raaklijn t bepaalt (p- i) (k -- i) punten 5,
maar wij moeten de (p -i) punten S door de toegevoegde
raaklijnen van. t op t ingesneden niet hebben. Bij e'en raaklijn t behooren derhalve (p- i) (k- 2) punten 5, terwijI
elk punt S (p -- 2) raakl,-ijnen p"' aangeeft. Bij e'en raaklijn
/behooren dus (p -I) (p -2) (k- 2) raaklij'nen p"/.
Door e'en raaklijn p"' zijn (p -i) toegevoegde raaklijnen f
bepaald, die 1/2 (p -- 1) (p- 2) punten S aangeven, terwiji
elk punt S nog (k- 2) raaklijnen /bepaalt. Bije'en raaklijn./ vinden wij zoodoende 1/2 (p - ) (p - 2) (k- 2) raaklijnen p"'.