Involuties op rationale krommen ...

44
~ 3 DL iNvoLUTIE I,. DEIR RAAKLIJNEN AAN L EN
RATIONALE VLAKKE KRO-MME.
Zij gregeven de involutie I, t-usselien de raaklijnen eener
vlak'ke rationale kromrne C1,. Zoo'n I1, kan bijv. ontstaan
door in de punten eener punteninvolutie van den pen g)raad
de raaklijnen te trekklen.
Fen groep van J toegevoegde raaklijnen bepaalt een aantal
snijpunten, die ik S zal noemen, en wij gaan nu de meetkundige
plaats zoeken van de snijpunten S der toeoge~o egde raaklijnen.
De gi-aad n' dier kromme S is eenvoudig te vinden. Wij
vragen slechts hoeveel snijpunten van toegyevo egde raaklijnen
op een willek-eurige reehte 1 gelegen zijn. De raaklijnen
uit de punten van I aan de krom-me Cn, getrokken vormen
eene hk-, wanneer k de kiasse van en VOOrStelt. Wij zoeken
nu het aantal paren dat de involutie I1, gyemeen heeft met de I,.
Om dit aantal te vinden beelden -wij de C,, en daarmee
de I1, en de Ik af op eene kegeisnede.
Voor de raaklijneninvolutie J'p aan de kegeisnede is de
involutiekromme (S') van den g-raad (p- i). De involutie Jk
aan de kegeisnede heeft eene involutiekrommie van den
g7I(raad (k- i). De involutiekromm-en van Jp, en Jik blebben
zoodoende (p -- i) (k — i) snijpunten, d. -w. z. J en Jk. lhebben
(p -— i) (k -i) gemeenschappelijke paren. 1)e Ip en 1k aan
de CQ, hebben bijgevolgr evenveel gemeenschappelijk-e paren,
waarmee bewezen is dat er op elke willekeurige lijn /, (p -__i
(k - i) punten S voorkornen. De ogruad n' van de involutiekromme (S) blijlk-t alzoo te zijn
0' zz p i) (k-
We oyaan verder met de bepaling van het aantal dutbbelunlenIC ~2 van de involutiekcromme (S). lBeschouwen wij
de toegyevoeg-de stralen p en p' die elkaar snijden in het
punt S. Uit S gaan dan nog (k- 2) raaklijnen / aan de
kromme G.. N~oemen wij e'en dezer raaklijnen t- q dan is
daaraan toegevoegd de raaklijn q', en q met q' bepalen het
snijpunt S'. Buiten de raaklijn t- q g)aan door S nog
(k. -- ) raaklijnen t' en deze alle voegy ik toe aan de raak