Involuties op rationale krommen ...

39
raaklijnen van F, ni. iMI P2, M P3......M PP,. De involutie
door den waaier (MI) op de kromme en te voorschijn geroepen, is nu eene In,, die met de gegeven I, zal gemeen
hebben (n- 2) (p - i) paren.
Bijgevolg gaan door het punt M (p -- i) (n -- 2) (p - 1)
(p i- ) (n - i) raaklijnen aan F of evenals boven
(p - i)(n i).
De rationale vlakke kromme C, bezit het maximum aantal
dubbelpunten. We weten dus
a = 1/2 (n.- i) (n - 2) en k = n (n -- 1) - 2 2 (n - -0.
De kromme en en de omhullende F moeten diensvolgens
2 (p -i) (n -i)2 gemeensehappelijke raaklijnen bezitten.
Hoe is het ontstaan dier raaklijnen te verkiaren? Uit
drie versehillende oorzaken.
In de eerste plaats geeft een dubbelpunt D der I, een
raaklijn in D aan de kromme C,, die tevens raaklijn aan
F is, omdat zij de twee samengevallen tocrgevoegde punten
D verbindt. Zoo ontstaan 2 (p- i) gemeenschappelijke
raakclijnen, want er zijn 2 (p - i) lubbelpunten in ce Ip.
In de tweede plaats hebben we te letten op de punten
S, die door de verbindingslijnen van toegevoegde punten
op de kromme C, worden inuesneden. Zoo geeft de lijn
P1 P2 (P1 en P2 zijn toegevoegde punten der hp) natuurlijk
(n - 2) snijpunten S met C,,. Vallen nu twee van die punten samen dan is de Iijn P1 P2 raaklijn aan de kromme
Cn in dat coincidentiepunt S en ze is reeds raaklijn aan F
omdat ze twee toegevoegde punten P1 en P2 der involutie
h verbindt; dus hebben we zoo een gemeenschappelijke
raaklijn van Cn en F gevonden. Hoe groot is nu dataantal dubbelpunten 5?
Daarvoor besehouwen we de verwantsehap, die tussehen
de punten S onderling bestaat; wij noemen twee punten S
en 5' aan elkaar toegyevoegyd, zoodra hunne verbindingslijn
aan F raakt.
Door een punt S gaan (p- i) (n 2) raaklijnen aan F,