Involuties op rationale krommen ...

24

~ 3. DE INVOLUTORISCHE OF SYMMETRISCHE
VERWANTTSCHAP.
De algemeene vergelijking der (in, n) was
f (x, y) = o
in x van den I,j1en in y van den ne-n graad. Zij bezit 172
m (m- i) n (n- i) involutorisehe paren. In het geval
dat m == n, zijn er m (m- i) involutorische paren. Vinden
we er meer, dan beteekent dat, dat de krommen (S) en (S')
der voorgaande paragraaf die nu van den graad 2 Mnworden,
meer dan 4 m2 snijpunten bezitten, mn. a. xv. dat de krommen
(S) en (S') samenvallen. Elk punt S is dus ook een punt S'.
Daarvoor moeten cille paren der verwantsehap (X, Y) invobilorisce/i zijn, vandaar dat men spreekt van eene involutlori'sch'c
verwantschap. Ze heet ookz wel eene symmeitri'schc verxvantschap. Want zoodra de vergelij king f (x, y) =: o symmetrisch
is, [waarvoor m n moet zijn en de coiffficienten zoodanig dat
door de verwisseling van x en y de verg-elijking niet verandert], zijn alle paren dier verwantschap involutorisch.
Met het punt P - X kornen dan m punten Y = Q overeen, terwiji met hetzelfde punt P -Y dezelfde iii punten
Q X overeenstemmen xvat het kenmerk van involuLtorische
paren is.
We besehouwen als voorbeeld een involutorische verwantsehap (2, 2) afgebeeld op een kegeisnede C2. Zij de kegelsnede D2 de directiekromme. We kiezen op C2 het willekeurige punt X en trekken uit X twee i-'aaklijnen aanD2
waardoor op C2 de punten Yj en Y2 worden ingesneden.
Uit het punt Yj - X' gaan dan twee raaklijnen aan D2
die de punten X - j en y2' insnij den op C 2 Was Y2 -
Y2', dan hadden we een cubisehe involutie, waarin de punten
X, Y1, Y2, een gesloten groep vormen.
Immers de groep X, Y1, Y2, bepaalt drie raaklijnen. Kies
nog twee raaklijnen P1, P2 en P1, P3. De drietallen X, Y1, Y2
en P1, P2, P3 bepalen een cubisehe involutie. De involutiekegeisnede dezer cubisehe involutie heeft vijf raaklijnen