Involuties op rationale krommen ...

23

samenvalt, d. w. z. x -' en yT =- y' Dan moet vanzelf
S~S' Doch x x en y~y' is onmogelijk zooalsen
figuur ons doet zien. Is dan x z —y en y x' rogelijk?
Zeer goed. We hoeven slechts te letten op een coineidentie
Xz -Y. Proj ecteeren zoo'n punt X - Y uit A dan blijkt
Ny'; proj ectie uit B geeft evenzoo x' y. Er zij n (m + n)
coincidenties, waardoor (m +n) snijpunten S _S ' gevonden
zijn. Nu sehieten er nog m (m- i) -4- n (n-i over.
Om deze te -verkiaren gaan wij den invloed van een
involulorisch paar na.
Zij X __= Y en -' Y' zoo'n puntenpaar. Wat gebeurt
er nu bij projectie uit A en B, alsook andersom? Dan wordt
Ax AY-x-sy' AY -AX _y x
BY' BX zx 3 BX-BYssx'_y
waarnit volgt dat het snijpunt (x, y) -(x', y') en het snij punt
(x, ) (' ' beide e'en punt S leveren.
Een involutorisch paar geeft derhalve tot twee punten S
aanleiding, waaruit we dan ten slotte zien, dat het overschietende aantal snij punten ni. m (m - i) + n (n- i) kan
verklaard worden door de aanwezigheid van 1/2 M (M - i) +
1/2 n (n -i) involutorische paren.
De twee samenvallende verbindingslijnen der punten X
Y en X'- Y' vormen blijkbaar een dubbelraakl~/n van FR.
De direetiekrommen F der verwantschap (in, n) is nu van
kialsse (m + n), van graad 2 m n, en bezit 1/2 M (M - 1) +
n (n - )dubbelraaklijnen.
De duale besehonwing gehouden over eene (in, n) tusschen
raaklijnen aan eene kegeisnede kan nu opleveren eene
directiekromnrne (dat is de meetkundige plaats van snijpunten
van toeg-evo egde raaklijnen) waarvan de g'raad (in + n) en
de kiassC 2 in n is, voorzien van
1/2 M (M- i) +n (n - ) dubbeiulen