Involuties op rationale krommen ...

2 2

direetiekromme F en de kegreisnede is nu 2 m (n i1) + 2 n
(m- 1)+ 2 (m +n) 4 m n. De- orde van F is alzoo 2 m n.
De omhullende F zal bovendien een aantal dutbbclraaklzjneii
bezitten.
Hun aantal zullen we berekenen nit het aantal iizvolulorisc/ic paren der (in, n), waar het ons eiogenlijk om te doen was.
Herinneren we ons weder de oneindig vele punten der
keg~eisnede, vertegenwoordigende twee puntenstelsels (X-) en
(Y) in m -n-ledig verband en projecte~eren wATij ze nit. twee
geheel willekeurige centra A en 13, door de stralenbundels
(x) en (y). Dat er nu tussehen die waaiers (x) en (y) ook
eene (in, n) bestaat, spreekt vanzelf, en door dualistisehe omzetting van het voorafgaande volgt dat de meetkundige
plaats der snijpunten S van toegev oegde stralen de grcrad
(m + n) moet hebben. Trouwens, men ziet het evengoed
rech-tstreeks. De beide stralenbundels (x) en (y) teekenen
op een willekeurig-e rechte een puntenstelsel of met symbool
(in), of met (m + n) coincidenties. En dat zij n aile punten
5, hetgeen beteekent dat de graad der meetkundig-e plaats
van S is (m +n).
Gemakkelijk zien we ook in dat de meetkundig-e plaats
van S in het centrum A een mn-voudigy en in centrum B
een n-voudig- punt zal hebben.
Projeeteeren we nu op de ander inogelijke manier, d. wv. z.
het stelsel (X) uit B en het stelsel (Y) nit A, door de stralenbundels (x') en (y') dan ontstaat een andere meetkundigoe
plaats van punten 5' die weer een kromme van den graad
(m +~ n) is, maar nu met een n-voudig punt in A en een
rn-voudig punt in B.
De kroinmen (S) en (S') hebben in 't alogemeen (m + n)2
snijpunten. Hoe zijn die te verantwoorden? Terstond zien
wij. er n m in het centrum A en evenveel in centrum B.
Buiten A en B, d. w. z. ergens anders, dus nog (in2 n2)
snij punten.
Denken we ons eens zooln snijpunt S 5'S. De een~voudigste
voorstelling van het ontstaan van zoo'n punt S -5'I is
dan dat het stralenpaar x, y met het stralenpaar x, y'