Involuties op rationale krommen ...

de punten S en S', en de onmogelijkheid van het onstaan
van dubbelpunten is weder in te zien.
In geval de paren Al, A2 en B1, B2 ZOO gegeven zijn, dat
de segmenten A1 A2 en B1 B2 elkaar uitsluiten, zal de besproken construetie fal en; we volgen dan een anderen weg.
Ergens in het viak besehrijven wij een willekeurigen cirkel
en nemen daarop, eveneens willekeurig, het punt Ml aan.
De lijnen Ml A1 en Ml A2 snij den op den cirkel de punten
X1 X2 in; de lijnen Ml B1 en Ml B2 de punten yl, Y2.
Ret snijpunt der verbinding-slijnen XI X2 en yl Y2 noemen
we M2.
Denken wij aan alle stralen door M2 of van den waaier
M2, dan vormen de op elken straal geleg-en snijpunten met
den cirkel de paren eener quadratische involutie. De stralenbundel (M1) geeft op dezelfde wijze een involutie van den
tweeden graad. De beide collocale involuties hebben de paren
(X1, X2) en (y1, Y2) gemeen; zij zijn derhalve identiek, d. w. z.
de beide waaiers (Ml) en (M2) snijden dezelfde involutie op
den cirkel in. Of ook de verbindingslijnen van toeg-evoegde
punten eener 12 op een cirk-el gaan door een vast punt.
Hier het punt M2.
Is het punt M2 uit de twee gegeven paren A1, A2 en B1, B2
gevonden, dan trekken we een willekeurigren straal door M2,
die de snijpunten Z1 Z2 oplevert. Projecteer deze nit M1,
dan wijzen de lijnen Ml Z1 en Ml Z2 op de lijn I het paar
(C1, C2) der involutie aan, waartoe ook A1, A2 en B1, B2 behooren. Uit, M2 gaan nu of twee rei~ele of twee imaginaire
raaklijnen aan den cirkel.
In het eerste geval zullen de beide raakpunten RI en R
de dub oelpunten voorstellen der involutie (X, Y), en zij zullen
uit Ml geprojeeteerd noodwendig de beide bestaanbare dubbelpunten der op I gelegen involutie (A B.) aanwijzen.
Ging de eerste constructie slechts in e&en geval door, de
laatst besprokene is in beide gevallen te gebruiken.
Toepassingen:
i. Een bundel kegeisneden bepaalt op een recht I een 12.