Involuties op rationale krommen ...

92
dat punt te besehouwen als grensstand der doorsnede van
twee osculatievlakken in dat punt. Ret nulpunt P van w,
is nu 't snijpunt van a12 met 't osculatieviak in A3. De raaklijn a12 stelt dan de bisecante uit P' voor, zoodat A12 een
paar P1, Q2 der involutie (Q) voorstelt. Het blijkt dus, dat
de 4 dubbelpunten der involutie (A) tegelijk de dubbelpunten
der involutie (Q) zijn. Maar 4 punten der R' kunnen slechts
de dubbelpunten van twee involuties 13 vertegenwoordigen,
want de vier raaklijnen in die punten hebben altijd slechts
twee transversalen 7 en 7'. Deze 7 en I' zijn de assen der
beide bundels, die de involuties moeten insnijden. We noemen
de involuties op I en op 7' loegevoegd. Tussehen hen bestaat
de wederkeerige betrekking, dat elk paar der eene involutie
het neutrale paar is eener kubisehe involutie van den tweeden
graad waarvan de drievoudige elemnenten een drietal der
tweede involutie vormen. Zoo ligt bijv. het paar Qi, Q2 op
de bisecante P1 Q1 Q2. De vlakkenschoof uit P1 snijdt op
de K3 eene J2 in, waarvan 't tweetal Q Q2 't neutrale paar is.
Tevens gaan uit P1 ook drie osculatievlakken aan R3, die
drie drievoudige elementen -Al A2.3 der J2 aanwijzen. Maar
volgens 't voorgaande liggen nu de drie punten A1 A 2A3
in 't viak 7-, dat door 7 en P1 gaat, en vormen zij dus een
drietal der involutie (A).
Hoort 7 tot een stralenbundel waarvan 't middelpunt het
nulpunt van zijn viak is, dan valt 7' met 7 samen. Men
krijgt dan eene involutie die aan zichzelf is toegevoegd.
Zooals reeds vroeger werd opgemerkt, kan eene 13 niet
alleen door twee drietallen maar ook door e'e'n drietal A1,A2 A 3
en twee paren B1, B2 en C1, C2 volkomen bepaald worden.
Ret blijkt ook hier. Immers de as van den insnijdenden
bundel is dan de lijn, die de snijpunten van B1 B2 en C1 C2
met 't viak A1 A2 A3 verbindt.
G-eeft men vier puntenparen, dan hebben de door hen bepaalde koorden twee trarsversalen, die de assen kunnen
voorstellen van twee bundels. Door vier paren zijn derhalve
twee kubisehe involuties aangewezen.
Jestaat op R3 eene biquadratisehe involutie 14, dan vormen