Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 253
Les v'i seront ainsi les coefficients des X'i et les v"i ceux des X"i. Les lettres
Ui, u.i; Vi, i;, U"; L, L"; etc. auront une signification analogue.
Il est clair qu'on aura:
V"T - TV" = V'T" - T" V' = 0,
d'où
0(T)= VT-TV= V'T'-T'V'.
J'introduis alors un symbole nouveau; soit:
'T -T'V' V= -X',X' + XX";
je poserai:
6' (T) = YXAX'i; 0" (T)= X"X',
et je définis (0') à l'aide de 0' comme j'ai défini <p(0) à l'aide de 0. On a alors:
(x",= o; O[O"(T)]=o; ~[(O)(T")=O;
et on trouve aisément:
p (0) (T) = < (0) (T') = < (0') (T') + 0" () ( 0) (T')] + (0) T".
Remarquons que les expressions:
0 (T), O'(T) (T),
dépendent des v' et des t' mais sont indépendantes des v" et des t"; et il en est
de même de < (0).(T) si < (0) est nul.
Les li étant linéaires par rapport aux iu, je puis écrire:
~,dli
i = dUl
^d=li-Uk
Les dl- sont des fonctions des v. Voyons combien de ces fonctions sont indépendutk
dantes les unes des autres. Je dis d'abord que ces fonctions ne dépendent que des v'.
Nous avons en effet (eZ étant une substitution quelconque du groupe):
eV'+V" = eV'eV", e-V"eZeV" = ez,
d'où
eL = e-V-eUeV'- V' e"e -V''" - 'e-'euee = e v'eUeV '
ce qui montre que L ne depend que de V', mais pas de V".
dl
Je dis maintenant que le nombre des fonctions ~- indépendantes les unes des
autres est précisément celui des variables v'. En d'autres termes, si l'on pose:
eL = e-VeueV, eL1 = e-VeUev,