Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

252 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
En donnant à l'indice k les valeurs 1, 2,..., r, on obtiendra r systèmes d'équations
différentielles correspondant aux r substitutions infinitésimales du groupe.
Nous devons prévoir que ces équations peuvent se ramener, au moins dans le cas
des groupes de la P1re famille (vide supra NO I.), à des équations linéaires, puisque c'est
là un résultat bien connu obtenu par Lie.
Voici le changement de variables qu'il faudrait faire pour retrouver ces équations;
soit:
U=>u2iXi; e-VeUev=eL; L=2liX;
on aura:
(3) L = e- (U).
Cette équation symbolique (3) nous apprend que les li sont des fonctions des v
et des u, linéaires par rapport aux u, et nous permet de former ces fonctions. Si alors
on pose:
e- V-dVe UeV+dV = eL+dL
on aura:
eL+dL = e-dAeLedA
ou, puisque A est infiniment petit:
(4) dL = dA- dA. L.
Cette formule (4) représente symboliquement r systèmes d'équations différentielles qui
ne sont autre chose que ce que deviennent les r systèmes d'équations différentielles
représentées symboliquement par la formule (2) quand on prend les li pour variables
nouvelles.
Celui de ces systèmes que l'on obtient en annulant tous les dc sauf dak s'écrit:
dL
(4 bis) dL = LXk- XkL.
Ces équations sont linéaires et à coefficients constants et s'intégrent immédiatement; ce sont celles auxquelles Lie arrive par la considération du groupe adjoint. Il
importe de remarquer que la réduction des équations différentielles (2) aux équations (4)
par le changement de variables (3) n'est pas immédiate et qu'on ne peut la faire qu'en
tenant compte des identités de Jacobi.
Considérons de plus près le cas des groupes de la 2e famille. Nous pourrons alors
choisir les opérateurs élémentaires Xi de telle manière qu'on en puisse distinguer de
deux classes. Ceux de la 2de classe seront permutables à tous les opérateurs, ce seront
les X"i; quant à ceux de la 1ère classe que j'appellerai les X'i, ils seront caracterisés
par la propriété suivante: aucune combinaison linéaire des X'i ne sera permutable à tous
les opérateurs.
Pour mettre en évidence cette distinction, j'écrirai quand il y aura lieu:
viXi = v' X'i + v"iX"; V' = v',X'; V" = v"X"; V = V' + V".