Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 251
Egalons alors dans l'équation (1 bis) les coefficients de t~,,,v; il vient:
-1 r X fc-1 didtr = (Xm ) -XXh) e-0m.
dvhdt — oh eLe premier membre ne dépend que des exponentielles e-0i, mais le second membre
outre l'exponentielle e-~m contient encore e-"-^"m.
Égalons les coefficients de e-0hm. Si Oh + Om n'est pas égal à une racine de F= 0,
cette exponentielle ne figurera pas dans le 1er membre; nous aurons donc
(XmXh) = o.
On reconnaît là l'un des théorèmes de Killing.
Si au contraire Oh + 0m est racine de F=O, l'exponentielle pourra figurer dans le
1er membre et (XmXh) pourra ne pas être nul.
Je n'insisterai pas sur les autres vérifications, ni sur le cas où les racines ne sont
pas distinctes et où on retrouverait les autres théorèmes de Killing.
Je me bornerai à faire remarquer que la vérification de la formule (1 bis) n'est
pas immédiate, et qu'il faut pour la faire avoir recours aux identités de Jacobi et aux
théorèmes que Killing en a déduits.
IX. INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET FORMATION DES SUBSTITUTIONS
FINIES DES GROUPES.
Soit
(1) eV+dV = eed4A
où:
V= viXi; dV= Zdvj. Xi; dA = Zda. X,.
On aura en vertu de la formule (7) du No VI.:
(2) dA = (cV).
Cette formule, identique sauf les notations à la formule (5) du N~ VII., comprend,
sous la forme symbolique, r systèmes d'équations différentielles; ainsi que je l'ai déjà
fait remarquer au N~ VII.
Annulons tous les da, sauf dck; égalons ensuite les coefficients de X1, X2,..., Xr
dans la formule (2). Nous aurons r équations différentielles qui définiront
dvl dv, dv,.
dak' d 'a ' dCk
en fonctions des v. Ce sont là comme nous l'avons vu au N~ VII., les équations différentielles qui définissent une des substitutions infinitésimales du groupe, si l'on prend les
v comme variables indépendantes.
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