Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

250 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
la plupart ont déjà été démontrées par Killing et il semble que les autres pourraient
se démontrer facilement par les procédés de Killing. Je n'y insiste donc que comme
sur un procédé de vérification.
Les deux membres de cette équation sont d'une forme particulière.
Le premier nmembre est linéaire à la fois par rapport aux symboles Xi, par rapport
aux ti, aux Svk, aux exponentielles e-0i (les Oi étant les racines de l'équation F=0).
Les coefficients de cette fonction linéaire sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des
v et des Oi.
Le second membre est linéaire à la fois par rapport aux symboles (XiXk), par rapport
aux ti, aux Îvk, aux exponentielles e-0 et e-i-k (Oi et 0k étant deux racines de F=0).
Les coëfficients de cette fonction linéaire sont encore rationnels par rapport aux v et
aux Oi.
Les Oi étant les racines de l'équation F = sont des fonctions algébriques des v.
Dans les deux membres de l'équation (1 bis) entrent en outre linéairement un certain
nombre de fonctions transcendantes; il y a d'abord les exponentielles e- i et il y en a
autant que l'équation F= O a de racines distinctes. Il y a ensuite les exponentielles
e-(Oi+k) qui peuvent être distinctes des précédentes, niais qui peuvent également ne pas
en être toutes distinctes si l'une des racines de l'équation F= O est constamment égale
a la somme de deux autres racines.
Supposons qu'il y ait q exponentielles et soient
el, e02,..., ei
ces exponentielles.
Les deux membres de l'équation (1 bis) seront alors des fonctions linéaires des
produits de la forme
(4) tonS îevh i,
où rn et h peuvent prendre les valeurs 1, 2,..., r, et où /L peut prendre les valeurs
1, 2,..., q.
Les coefficients de ces produits sont des fonctions algébriques des v, ne dépendant
ni des t, ni des Av. Pour que l'identité puisse avoir lieu, il faut que l'on puisse égaler
dans les deux membres de (1 bis) les coefficients d'un même produit (4).
Nous aurons ainsi un certain nombre de relations linéaires entre les symboles Xi
d'une part, les symboles (XiXk) d'autre part; les coefficients de ces relations linéaires
sont des fonctions algébriques des v. Ces relations linéaires doivent être identiques aux
relations de structure ou en être des conséquences.
J'examinerai seulement le cas particulier où F (t) = O a toutes ses racines distinctes.
Je puis alors supposer que les opérateurs élémentaires Xi ont été choisis de telle
sorte que:
VXi - Xi V = iXi,
Oi étant l'une de ces racines.