Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. 1. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 249
Soit
e-(V+sV) eTeV+V= eU',
on aura:
U-= e-(O+~) (T),
où 6 + s0 est un symbole qui est à V+ V ce que 0 est à V. On aura d'autre part:
eU' = e-Ye-eTeeY = e-YeeY.
d'où en négligeant le carré de Y qui est infiniment petit:
eU' =e - Yeu + eY= eU+UY- Y
D'où
U'- U= UY- YU.
Si je conviens de poser:
e-(O+ 0)- e- = (e-0),
il viendra:
T'- = 8(e-)(T).
Nous arrivons ainsi à la formule symbolique suivante:
(1) S(e-) T=-[e-(T)] L (ov1 - k' eV)1] [e-0(T)].
Pour mieux expliquer le sens de cette formule rappelons que nous avons trouvé
plus haut:
(2) < (O) (T)= 2w Jde (e) YhXi,
où les hi sont des fonctions rationnelles des t, des v et des e données par les équations:
(3) ehi - ibkihk = ti; bki = Ci.k. iVi + C,.k i,. +... + Cr.k. iVr.
Alors on aura:
Se-h (T) -,
où les îhi sont les accroissements que subissent les fonctions hi quand les variables vk
subissent les accroissements Îvk.
Si alors les h'i sont ce que deviennent les hi quand on y remplace les tk par les
Îvk, la formule (1) pourra prendre la forme
(1 bis) 27rw-1: Xifde-ethi =Y(XiX-XkXi) X)fd^ e h'f de-e7hi.
Dans le 1er membre le signe 2 se rapporte aux r valeurs de l'indice i; dans le
21 membre aux r(r-l) arrangements des deux indices i et k (l'arrangement i, k étant
regardé comme différent de l'arrangement k, i).
Cette formule nous fait connaître un certain nombre de relations auxquelles doivent
satisfaire les expressions XiX k-XkXi ou (XiXk). Ces relations sont curieuses; mais
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