Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARE, SUR LES GROUPES CONTINUS. 247
une combinaison linéaire des Xi; c'est le théorème que j'ai annoncé au N~ IV.; et comme
d'autre part ce théorème a été établi en s'appuyant simplement sur les relations (1) et
en en faisant des combinaisons purement formelles, le problème de Campbell est résolu
et le troisième théorème de Lie, en vertu de la remarque faite dans ce N~ IV., se
trouve démontré:
Il est aisé de se rendre compte de la forme relativement simple de ces équations
(5 bis). Soient 1, l2,......, p les p racines distinctes de l'équation F(e))=0; ce sont
des fonctions algébriques des w, puisque F () est un polynôme entier par rapport à t
dwj
et aux w. Les d- seront donnés par des équations linéaires dont les seconds membres
dp/
seront des constantes; tandis que les coefficients des premiers membres seront des fonctions
rationnelles des w, des k et des e-; ces coefficients ne dépendront d'ailleurs que linéairement des exponentielles e-t; ce seront des fonctions symétriques des racines.
Résolvons ces équations par rapport aux d,' nous trouverons:
dwj
(6),= iAl.jti+ A2.jt2 +...... + A.jt,.,
les coefficients A étant rationnels par rapport aux w, aux ek et aux e-tk.
Le problème qui se pose à propos du troisième théorème de Lie est ainsi complètement résolu.
Il s'agit de trouver X opérateurs
X (f,), X2 (f)....... X^ f),
satisfaisant aux relations (1); on y satisfait en faisant
Xdf+ df' df
Xi (f ) = + Ai....... + A X *
dw' d~ + dw<.
Les équations (5 bis) peuvent se mettre sous plusieurs autres formes.
Soit
ZCk. i.sWk bi.s
On aura (puisque les Pij sont les mineurs du -déterminant F):
t:Pij- =bkiPkj = 0
pour i j et
Pii - bkiPki = F
pour i=j.
Nos équations
(5 bis) tid/3= =,__ d-P - j. F