Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

246 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
Or on y satisfait de la manière suivante. Faisons:
) (a, /) = eW, (a-, /3 + d3) = eW+d;
soit 7 un symbole qui soit à W ce que 0 est à V.
Il s'agit de satisfaire à l'équation (2) ou ce qui revient au même à
- (a, +d/3)= (a,/3)edP.T
on doit donc avoir:
eW+adW = eWed. T
Or en vertu de la formule (7) du N~ précédent, on satisfera à cette condition si l'on a:
(5) d3. T= (dW).
Cette formule (5) représente symboliquement un système d'équations différentielles
auxquelles doivent satisfaire les coefficients wi.
En vertu de la formule (4 bis) du N~ V., ces équations peuvent s'écrire:
(5 bis) tide = I f. le- ~=P,
(i=l, 2,...,r).
Si l'on a:
WXi- XiW = $Ck. i.WkXs,
F(J) est le déterminant dont l'élément est (pour la ie ligne et la se colonne)
- (Ci.s.w8i + C2.i.sW2 +.. i. 'sw.),
sauf les éléments de la diagonale principale (i=s) qui sont égaux à
-(Cl.i.iZ.iw + C2.i.iW2 f... + Cr.i.iWi.) + t;
les P/j sont les mineurs de ce déterminant. L'intégrale du second membre de (5 bis)
est prise dans le plan des Ô, le long d'un contour fermé enveloppant toutes les racines
de l'équation F()= 0.
La condition (2) sera donc satisfaite, si les w satisfont aux équations (5 bis); la
condition (4) le sera également si les valeurs initiales des w pour / =0 sont
Wi = Vi.*
Les équations (5 bis) admettant toujours une solution telle que pour / = O on ait
wi=vi, et d'autre part les conditions (2) et (4) suffisant pour déterminer >, on aura:
+ (a, l) = ew, w = wiXi,
les w étant des fonctions de /3 définies par les équations (5 bis) et les conditions initiales
Wi = Vi.
La série f (a, /3) n'est donc autre chose qu'une exponentielle dont l'exposant est