Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

244 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
ou en vertu de la relation (2 bis):
eaV+apos(T)= eaV eaveu+ eaVeT; U=e-aO(T);
ou, toujours en négligeant le carré de 8:
eaV+ap (T) = eV(1 - 3U + /T) = e&Ve (T- U)
Si nous posons:
+aor(T)=W; T-U=Y;
il vient:
1 -e- ~
(7) eaV+P = eaVeY; Y= e (W).
Soit
W= CwiXi
une combinaison linéaire quelconque des Xi; peut-on déterminer les coefficients t de la
combinaison T = -tiX de telle façon que l'on ait
+ a (T)= W?
Cela est évidemment toujours possible si le déterminant des coefficients bik n'est pas
nul. Dans ce cas la formule (7) est vraie quel que soit W.
Si maintenant ce déterminant est nul, il suffit de partir du cas où ce déterminant
n'est pas nul, de faire varier les coefficients b d'une manière continue de façon que ce
déterminant devienne de plus en plus petit et de passer à la limite, pour démontrer
que la formule (7) est encore vraie quel que soit W.
Si enfin V, au lieu d'être un opérateur indépendant des X, n'est qu'une combinaison
linéaire des X, la formule (7) est évidemment encore vraie, puisqu'elle ne peut cesser
de l'être par suite de l'introduction de nouvelles relations entre nos opérateurs.
Remarquons que ce raisonnement par passage à la limite n'aurait pas été possible,
si nous nous étions restreints dès le début en supposant que V et T sont des combinaisons des opérateurs X, que les X définissent un groupe de Lie, que eaV et ePT sont
deux substitutions finies de ce groupe de Lie. Dans ce cas en effet le déterminant des
bik aurait été constamment nul.
La formule (7) peut s'établir directement:
En effet en négligeant le carré de 3 on a:
(aV~C i + W)n a__-1
eav+Pw= = e +n ) e_ (V~ -VnW+ (Vn_-2WWV+ Vn-3WV2
n! ni
+... + VWVn-2 + WVn-1)
Or on trouve aisément
Vn-i W + Vn-2 WVY... + WVn-i = Vn- W- v- " (W)\
Vn-3 02 ( n 1) 1 T V-(W- nO! (W),
+ * T-n-30 / -\ _. Yn-î W\T Q