Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARE, SUR LES GROUPES CONTINUS. 243
et
(6) XiXk-XkX = 0.
Ces relations entraînent en effet l'identité
(V (XiXk)) + (Xi (XkV)) + (Xk (VXt)) =,
en désignant suivant la coutume par (VXi) et (XiXk) les seconds membres des relations
(5) et (6). On aura donc dans cette hypothèse:
(2 bis) e-aVesTer= eeU; U =e- (T).
On aura de même en permutant V et T:
(2 ter) e-TeaVeT= esW; W= e-P' (V),
e-~ étant un symbole analogue à e-"o et défini de la manière suivante: le symbole
v est formé avec T comme le symbole 0 avec T; on a donc, si Y est un opérateur
quelconque:
(Y)= TY- YT.
On aura donc:
V(V)= TV-VT=- (T),
et en vertu des relations (6)
(X)= 0; (V) =; ( V; ()= O,
e-P (V)= V - r (V) = V+ O (T).
La formule (2 ter) devient ainsi:
(2 quater) e-OTeaVeT = eaV+as0(T).
Si l'on suppose maintenant que les relations (5) subsistent, mais que les relations
(6) n'aient plus lieu, les formules (2 bis) et (2 quater) cesseront d'être vraies quels que
soient a et R.
Cependant supposons que l'on regarde les opérateurs X comme très petits et qu'on
en néglige les carrés; à ce degré d'approximation, les relations (6) dont les premiers
membres sont du 2d ordre par rapport aux X se trouvent satisfaites d'elles-mêmes.
Les relations (2 bis) et (2 quater) sont donc vraies, si l'on néglige les carrés des X,
ou, ce qui revient au même, si l'on néglige le carré de T, ou encore si on néglige
le carré de / (puisque T ne figure qu'affecté du facteur 8).
Si donc V et les X sont r + opérateurs liés par les relations (5), les relations
(2 bis) et (2 quater) ont lieu aux quantités près de l'ordre de f2.
Au même degré d'approximation la formule (2 quater) peut s'écrire:
eaV+aSo(T) = eV_ /aTeaV + eav/T,
ou encore:
eav+afîo(,)_ ev e TeaV + e~VePT,
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