Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

242 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
d'où:
(4) c (a,+ ( /a )= (+, d) e=. E.
Cette formule (4) représente sous forme condensée des équations différentielles de
même forme que les équations (3 bis), auxquelles doivent satisfaire les coefficients A de
À (a, B)= SA.1T.
C'est ainsi que la formule (4) représentait sous forme condensée les équations
(3 bis).
On peut satisfaire à ces équations par la formule (2 bis); cette formule donne
en effet:
( (a, 3 + d/) = e(+dP)U=eU eds e u=d (a, 3) ed. U.
Les équations différentielles ne comportant comme les équations (3 bis) qu'une seule
solution, la formule (2 bis) se trouve vérifiée dans tous les cas.
Cette formule (2 bis) n'est d'ailleurs que la traduction symbolique d'une formule
bien connue et, si j'ai développé la démonstration, c'est uniquement pour mieux faire
comprendre les symboles employés et pour faire connaître un mode de raisonnement
applicable à des questions analogues; je veux parler de celui où s'introduisent les
équations différentielles (3 bis) ou les équations analogues.
Il importe avant d'aller plus loin de préciser la portée de la démonstration que
nous venons de donner. Pour qu'elle soit valable, il faut que tout polynôme puisse être
réduit d'une manière et d'une seule à être régulier. Or, d'après le N~ III., cela a lieu
dans deux cas.
1.~. Si V et T sont des combinaisons linéaires des opérateurs X,
V = v Xi, T = XtiXi,
et si ces opérateurs sont liés par des relations
XiXk XkXi = $CikSXS,
les constantes c satisfaisant aux identités
(Xa (XbX,)) + (Xb (Xca)) + (X, (XXb)) = O;
si en d'autres termes les opérateurs X définissent un groupe de Lie et si eaI, eT7 sont
deux transformations quelconques de ce groupe:
Dans ce premier cas la formule (2 bis) est toujours vraie.
2~. Elle sera donc vraie en particulier si on suppose que
V; XI, X2,..., Xr
sont r + 1 opérateurs liés par les relations
(5) VX -XiV= _b.kX.